Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz para espaços euclidianos reais:
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos provar que em um espaço euclidiano real, para quaisquer vetores e , vale
Aqui lang<=cdot,cdotrang<= é o produto interno canônico e |x|=raizlang<=x,xrang<= é a norma associada.
Passo 2
Antes de tudo, note o caso trivial: se u=0 ou v=0, então lang<=u,vrang<==0 e um dos lados da desigualdade é zero, logo ela é óbvia. Aí ficamos com o caso não trivial em que uneq0 e vneq0.
Passo 3
Considere a função de uma variável real
f(t)=l|u+t,vr|^2
Como norma ao quadrado é sempre não negativa, temos
f(t)>=0 para todo tinR
Passo 4
Agora expanda f(t) usando bilinearidade do produto interno: