Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz para espaços euclidianos reais:
|lang<=u, vrang<=| <=|u||v|

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos provar que em um espaço euclidiano real, para quaisquer vetores u e v, vale
l|lang<=u,vrang<=r|<=|u|;|v|
Aqui lang<=cdot,cdotrang<= é o produto interno canônico e |x|=raizlang<=x,xrang<= é a norma associada.

Passo 2

Antes de tudo, note o caso trivial: se u=0 ou v=0, então lang<=u,vrang<==0 e um dos lados da desigualdade é zero, logo ela é óbvia. Aí ficamos com o caso não trivial em que uneq0 e vneq0.

Passo 3

Considere a função de uma variável real
f(t)=l|u+t,vr|^2
Como norma ao quadrado é sempre não negativa, temos
f(t)>=0 para todo tinR

Passo 4

Agora expanda f(t) usando bilinearidade do produto interno:
f(t) =lang<=u+tv,,u+tvrang<= =lang<=u,urang<= +2,t,lang<=u,vrang<= +t^2,lang<=v,vrang<=
Em outras palavras,
f(t) =|u|^2 +2,t,lang<=u,vrang<= +t^2,|v|^2,
que é uma função quadrática em t.

Passo 5

Para que a quadrática f(t)=a,t^2+b,t+c seja sempre não negativa, é necessário e suficiente que o seu discriminante seja não positivo, isto é,
b^2-4ac<=0
No nosso caso temos
a=|v|^2, b=2,lang<=u,vrang<=, c=|u|^2,
logo
l(2,lang<=u,vrang<=r)^2 -4,|v|^2,|u|^2 <=0
Isso dá
4,lang<=u,vrang<=^2 <=4,|u|^2,|v|^2 Longrightarrow lang<=u,vrang<=^2 <=|u|^2,|v|^2

Passo 6

Basta agora extrair a raiz quadrada de ambos os lados e usar l|lang<=u,vrang<=r|=raizlang<=u,vrang<=^2, obtendo exatamente
l|lang<=u,vrang<=r| <=|u|;|v|

Resposta

A desigualdade de Cauchy–Schwarz está demonstrada.

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