Deixa-se cair um objeto de uma altura
e mede-se sua altura em 8 instantes ao longo da queda livre. Os dados se encontram na tabela abaixo.
Instante (s)
0.00
0.09
0.17
0.26
0.34
0.43
0.51
0.60
Altura (m)
2.01
1.95
1.88
1.68
1.44
1.08
0.67
0.22
Sabendo que um corpo em queda livre sob aceleração da gravidade
, solto de uma altura
a uma velocidade inicial
tem sua altura no instante
dada por
, responda, com base no melhor ajuste aos dados:
(a) Qual a aceleração da gravidade a que esse objeto está sujeito?
(b) De qual altura ele foi solto?
(c) É razoável dizer que o objeto foi solto a partir do repouso? Por quê?
(d) Utilize seu software favorito para fazer um gráfico desses pontos e da função ajustada.
(e) O resultado é compatível com o que você esperava?
Instante (s) | 0.00 | 0.09 | 0.17 | 0.26 | 0.34 | 0.43 | 0.51 | 0.60 |
Altura (m) | 2.01 | 1.95 | 1.88 | 1.68 | 1.44 | 1.08 | 0.67 | 0.22 |
(a) Qual a aceleração da gravidade a que esse objeto está sujeito?
(b) De qual altura ele foi solto?
(c) É razoável dizer que o objeto foi solto a partir do repouso? Por quê?
(d) Utilize seu software favorito para fazer um gráfico desses pontos e da função ajustada.
(e) O resultado é compatível com o que você esperava?
Passo 1
O enunciado fornece oito medidas
de tempo e altura para um corpo em queda livre, cujo modelo teórico é
O objetivo é ajustar esse modelo aos dados por mínimos quadrados e extrair:
(a) a aceleração ;
(b) a altura inicial ;
(c) o valor de para avaliar se é compatível com repouso;
(d) mostrar o gráfico dos pontos e da curva ajustada;
(e) comentar se o resultado bate com a expectativa de .
(a) a aceleração
(b) a altura inicial
(c) o valor de
(d) mostrar o gráfico dos pontos e da curva ajustada;
(e) comentar se o resultado bate com a expectativa de
Passo 2
Para linearizar o ajuste, note que podemos escrever
onde
,
e
. Montamos o sistema normal
com
variando sobre os oito pontos. A seguir, resolvemos esse sistema (usando software).
Passo 3
Aplicando o ajuste por mínimos quadrados (por exemplo em Python, R ou Excel), obtém‐se
Passo 4
Das relações
,
e
segue
Passo 5
Plotando no mesmo gráfico os oito pontos
e a curva ajustada
vemos excelente concordância visual.
Resposta
(a)
(b)
(c) Sim: é muito próximo de zero dentro da precisão dos dados, logo condiz com “solto do repouso”.
(d) Gráfico abaixo (pontos azuis; curva vermelha do ajuste):
(b)
(c) Sim:
(d) Gráfico abaixo (pontos azuis; curva vermelha do ajuste):
(e) Sim, o valor de
ajustado fica dentro da faixa esperada (
–
).