Seja
a função dada por
.
a) Existe
?
b) Existe
para
?
c) Como se define a função
?
a) Existe
b) Existe
c) Como se define a função
Passo 1
O enunciado define a função
e pergunta sobre a existência de
, de
para
e como fica a expressão de
.
Conteúdo envolvido: definição de derivada pela razão incremental, derivada de funções definidas por partes e tratamento de valor absoluto.
Conteúdo envolvido: definição de derivada pela razão incremental, derivada de funções definidas por partes e tratamento de valor absoluto.
Passo 2
Para trabalhar com a derivada, primeiro reescrevemos
de forma piecewise, lembrando que
Logo
Passo 3
Vamos calcular as derivadas laterais em
. Por definição,
Como
,
para vale
, então
para
Para
vale
, então
Como
, a derivada em
não existe.
Passo 4
Para
estamos em uma das duas partes lisas:
- Se
, então e . - Se
, então e .
Nessas regiões a função é polinomial simples, logo diferenciável.
Passo 5
Juntando tudo, a função derivada
fica dada por
Resposta
a)
e em (x=0] não está definida.