Seja f a função dada por f(x)=|x|+x.
a) Existe f^prime(0) ?
b) Existe f^prime(x) para x neq 0 ?
c) Como se define a função f^prime ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=|x|+x
e pergunta sobre a existência de f'(0), de f'(x) para xneq0 e como fica a expressão de f'.
Conteúdo envolvido: definição de derivada pela razão incremental, derivada de funções definidas por partes e tratamento de valor absoluto.

Passo 2

Para trabalhar com a derivada, primeiro reescrevemos f de forma piecewise, lembrando que
|x|= -x,&x<0, ;x,&x>=0
Logo
f(x)=|x|+x= (-x)+x=0,&x<0, x+x=2x,&x>=0

Passo 3

Vamos calcular as derivadas laterais em 0. Por definição,
f'(0^+)=limhto0^+f(0+h)-f(0)h, f'(0^-)=limhto0^-f(0+h)-f(0)h
Como f(0)=0,
para h>0 vale f(h)=2h, então
f'(0^+)=limhto0^+2h-0h=2
Para h<0 vale f(h)=0, então
f'(0^-)=limhto0^-0-0h=0
Como f'(0^+)neq f'(0^-), a derivada em 0 não existe.

Passo 4

Para xneq0 estamos em uma das duas partes lisas:
  • Se x>0, então f(x)=2x e l(f'(x)=2r).
  • Se x<0, então f(x)=0 e l(f'(x)=0r).
    Nessas regiões a função é polinomial simples, logo diferenciável.

Passo 5

Juntando tudo, a função derivada f' fica dada por
f'(x)= 0,&x<0, não existe,&x=0, 2,&x>0 ã

Resposta

a)
e em (x=0] não está definida.

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