Find the flow of the velocity field \mathbf{F}=y^{2} \mathbf{i}+2 x y \mathbf{j} along the path from (0,0) to (2,4):
Use any path from (0,0) to (2,4) different from parts (a) and (b).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei os pontos da imagem enviada):
  • Campo de velocidades: \mathbf{F}=y^{2}\,\mathbf{i}+2xy\,\mathbf{j}.
  • Ponto inicial: (0,0) e ponto final: (2,4). (Peguei essas coordenadas da imagem.)
  • Pede-se o fluxo (ou trabalho) do campo ao longo de um caminho qualquer que leve de (0,0) a (2,4), diferente das partes (a) e (b).
  • Convenção que vou usar: o fluxo/linha integral é
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}P\,dx+Q\,dy,
onde P(x,y)=y^{2} e Q(x,y)=2xy.

Passo 2

Decidir o método e ensinar a ideia: campos conservativos e independência de caminho.
  • Se o campo for conservativo (isto é, existir uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}), então a integral de linha entre dois pontos depende só desses pontos e não do caminho. Isso torna o cálculo muito mais simples: basta avaliar \varphi nos extremos e tomar a diferença.
  • Condição prática em duas dimensões: se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa, então \mathbf{F} é conservativo quando
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
  • Calcular as derivadas parciais do nosso campo:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\big)=2y, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2xy\big)=2y.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x=2y, o campo é conservativo em toda a reta (de facto em \mathbb{R}^2). Logo a integral é independente do caminho escolhido.

Passo 3

Encontrar a função potencial \varphi (a “antiderivada vetorial”) — aula curta sobre o procedimento.
  • Procuramos \varphi(x,y) tal que
\phi_x=P=y^{2},\qquad \phi_y=Q=2xy.
  • Integramos \phi_x=y^{2} em relação a x:
\varphi(x,y)=\int y^{2}\,dx = x\,y^{2}+g(y),
onde g(y) é alguma função só de y (constante de integração em relação a x).
  • Agora diferenciamos essa \varphi em relação a y e igualamos a Q:
\phi_y=2xy+g'(y)\stackrel{!}{=}2xy.
Isso implica g'(y)=0, ou seja g é constante. Podemos escolher a constante zero (não altera a integral). Portanto:
\varphi(x,y)=x\,y^{2}.
  • Verificação rápida: \phi_x=y^{2} e \phi_y=2xy, bate com P e Q.

Passo 4

Avaliar a integral pela função potencial (método prático e rápido).
  • Como o campo é conservativo, temos
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(2,4)-\varphi(0,0).
  • Calcular \varphi nos pontos:
\varphi(2,4)=2\cdot 4^{2}=2\cdot 16=32, \qquad \varphi(0,0)=0\cdot 0^{2}=0.
  • Logo
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=32-0=32.

Passo 5

Exemplo concreto com um caminho diferente do da figura (confirmação e exercício prático).
  • Vou escolher um caminho em duas partes (clássico e simples, claramente diferente da reta y=2x mostrada na figura):
    • C_{1}: segmento horizontal de (0,0) até (2,0) (isto é, y=0, x de 0 a 2).
    • C_{2}: segmento vertical de (2,0) até (2,4) (isto é, x=2, y de 0 a 4).
  • Calcular diretamente por partes para ver que dá o mesmo:
    • Em C_{1}: y=0\Rightarrow dy=0. Então integrando
    \int_{C_{1}}P\,dx+Q\,dy=\int_{0}^{2} y^{2}\,dx \Big|_{y=0}=0.
    • Em C_{2}: x=2\Rightarrow dx=0, y vai de 0 a 4. Então
    \int_{C_{2}}P\,dx+Q\,dy=\int_{0}^{4} 2xy\,dy\Big|_{x=2}=\int_{0}^{4} 4y\,dy=4\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{4}=2\cdot 16=32.
    • Soma das partes: 0+32=32. Confirma que o resultado coincide com o cálculo via potencial e que o valor é independente do caminho.

Passo 6

Resumo final e palavra de incentivo:
  • Resultado encontrado: o fluxo é 32.
  • Dica para prova: ao ver um campo \mathbf{F}=(P,Q), primeiro teste rápido é comparar \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x. Se iguais numa região adequada, pare de sofrer com parametrizações longas e use a função potencial — é muito mais rápido e seguro. Você tá indo bem — respira e confia nesse procedimento!

Resposta

32

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