Find the flow of the velocity field
along the path from
to
:
Use any path from
to
different from parts (a) and (b).
Use any path from
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei os pontos da imagem enviada):
- Campo de velocidades:
. - Ponto inicial:
e ponto final: . (Peguei essas coordenadas da imagem.) - Pede-se o fluxo (ou trabalho) do campo ao longo de um caminho qualquer que leve de
a , diferente das partes (a) e (b). - Convenção que vou usar: o fluxo/linha integral é
onde
e
.
Passo 2
Decidir o método e ensinar a ideia: campos conservativos e independência de caminho.
- Se o campo for conservativo (isto é, existir uma função potencial
tal que ), então a integral de linha entre dois pontos depende só desses pontos e não do caminho. Isso torna o cálculo muito mais simples: basta avaliar nos extremos e tomar a diferença. - Condição prática em duas dimensões: se
e têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa, então é conservativo quando
- Calcular as derivadas parciais do nosso campo:
Como
, o campo é conservativo em toda a reta (de facto em
). Logo a integral é independente do caminho escolhido.
Passo 3
Encontrar a função potencial
(a “antiderivada vetorial”) — aula curta sobre o procedimento.
- Procuramos
tal que
- Integramos
em relação a :
onde
é alguma função só de
(constante de integração em relação a
).
- Agora diferenciamos essa
em relação a e igualamos a :
Isso implica
, ou seja
é constante. Podemos escolher a constante zero (não altera a integral). Portanto:
- Verificação rápida:
e , bate com e .
Passo 4
Avaliar a integral pela função potencial (método prático e rápido).
- Como o campo é conservativo, temos
- Calcular
nos pontos:
- Logo
Passo 5
Exemplo concreto com um caminho diferente do da figura (confirmação e exercício prático).
- Vou escolher um caminho em duas partes (clássico e simples, claramente diferente da reta
mostrada na figura): -
: segmento horizontal de até (isto é, , de a ). -
: segmento vertical de até (isto é, , de a ).
-
- Calcular diretamente por partes para ver que dá o mesmo:
- Em
: . Então integrando
- Em
: , vai de a . Então
- Soma das partes:
. Confirma que o resultado coincide com o cálculo via potencial e que o valor é independente do caminho.
- Em
Passo 6
Resumo final e palavra de incentivo:
- Resultado encontrado: o fluxo é
. - Dica para prova: ao ver um campo
, primeiro teste rápido é comparar e . Se iguais numa região adequada, pare de sofrer com parametrizações longas e use a função potencial — é muito mais rápido e seguro. Você tá indo bem — respira e confia nesse procedimento!