Na dedução da terceira lei de Kepler, fizemos uma aproximação baseada no fato de que a massa do Sol Ms era muito maior do que a massa
do planeta. Mostre que a lei deve, na verdade, ser expressa por
e, portanto, que a constante de proporcionalidade é na verdade um pouco diferente para diferentes planetas. Sabendo que a massa do planeta mais pesado (Júpiter) é cerca de
, enquar Ms é cerca de
(e alguns planetas tem massas de várias ordens de magnitude menor do que a Júpiter), por qual percentagem você espera que a constante na terceira lei de Kepler varie dentre vár planetas?
Passo 1
Beleza, então o exercício quer que a gente refaça a dedução da terceira lei de Kepler sem desprezar a massa do planeta. Na versão “completa” a lei fica
e aí a constante
muda ligeiramente de planeta pra planeta. O que pedem de fato:
- Mostrar esse resultado (usando lei da gravitação e movimento circular).
- Usando
e , estimar em quantos por cento essa “constante” varia entre os planetas.
Conteúdo envolvido:
- Lei da gravitação universal:
. - Movimento circular uniforme: força centrípeta
, com . - Álgebra básica para isolar
.
Passo 2
Vamos à dedução passo a passo, sem pular nada:
- Lei da gravitação atrai o planeta de massa
ao Sol de massa com força - Se a órbita for (aproximadamente) circular de raio
, o planeta precisa de uma força centrípeta onde a velocidade angular é . - Na mecânica de dois corpos, o módulo da força que mantém o planeta em órbita é exatamente a força gravitacional, logo
- Dá para simplificar o
dos dois lados e substituir : - Reorganizando pra isolar
: Até aqui é a dedução padrão desprezando . - Para levar
em conta corretamente, a teoria do problema de dois corpos nos diz que onde aparece devemos colocar a soma . Então o passo equivalente a (3) fica e daí vem direto
Passo 3
Agora, sobre a variação percentual da constante:
- A “constante” original (desprezando
) é - A constante real para cada planeta é
- A razão é
- Para Júpiter,
.
Então - Em percentagem, é uma diferença de cerca de
. Planetas mais leves (massa ainda menor que Júpiter) vão variar ainda menos.
Resposta
A terceira lei fica de fato
e a “constante” varia, no máximo, uns 0,1 % entre os planetas do Sistema Solar.