Na dedução da terceira lei de Kepler, fizemos uma aproximação baseada no fato de que a massa do Sol Ms era muito maior do que a massa m do planeta. Mostre que a lei deve, na verdade, ser expressa por tau^2= [4 pi^2G(Ms+m)] a^3 e, portanto, que a constante de proporcionalidade é na verdade um pouco diferente para diferentes planetas. Sabendo que a massa do planeta mais pesado (Júpiter) é cerca de 2 times 10^27 kg, enquar Ms é cerca de 2 times 10^30 kg (e alguns planetas tem massas de várias ordens de magnitude menor do que a Júpiter), por qual percentagem você espera que a constante na terceira lei de Kepler varie dentre vár planetas?

Passo 1

Beleza, então o exercício quer que a gente refaça a dedução da terceira lei de Kepler sem desprezar a massa do planeta. Na versão “completa” a lei fica
tau^2 ;=; 4pi^2G,(Ms + m),a^3
e aí a constante muda ligeiramente de planeta pra planeta. O que pedem de fato:
  1. Mostrar esse resultado (usando lei da gravitação e movimento circular).
  2. Usando ú e , estimar em quantos por cento essa “constante” varia entre os planetas.
Conteúdo envolvido:
  • Lei da gravitação universal: .
  • Movimento circular uniforme: força centrípeta , com .
  • Álgebra básica para isolar .

Passo 2

Vamos à dedução passo a passo, sem pular nada:
  1. Lei da gravitação atrai o planeta de massa Fg = G,Ms,ma^2 ao Sol de massa Fc = m,arm cent = m,omega^2,a, com força m,omega^2,a = G,Ms,ma^2
  2. Se a órbita for (aproximadamente) circular de raio l(2pitaur)^2,a = G,Msa^2 , o planeta precisa de uma força centrípeta 4pi^2tau^2,a = G,Msa^2 Longrightarrow tau^2 = 4pi^2,a^3G,Ms onde a velocidade angular é m,omega^2,a = G,(Ms + m),ma^2 .
  3. Na mecânica de dois corpos, o módulo da força que mantém o planeta em órbita é exatamente a força gravitacional, logo tau^2 = 4pi^2,a^3G,(Ms + m)
  4. Dá para simplificar o dos dois lados e substituir :
  5. Reorganizando pra isolar : Até aqui é a dedução padrão desprezando .
  6. Para levar em conta corretamente, a teoria do problema de dois corpos nos diz que onde aparece devemos colocar a soma . Então o passo equivalente a (3) fica e daí vem direto

Passo 3

Agora, sobre a variação percentual da constante:
  1. A “constante” original (desprezando K0 = 4pi^2G,Ms ) é K = 4pi^2G,(Ms + m)
  2. A constante real para cada planeta é KK0 = MsMs + m = 11 + mMs
  3. A razão é KK0 = 11+10^-3 approx 1 - 10^-3 = 0,999
  4. Para Júpiter, .
    Então
  5. Em percentagem, é uma diferença de cerca de . Planetas mais leves (massa ainda menor que Júpiter) vão variar ainda menos.

Resposta

A terceira lei fica de fato
tau^2 = 4pi^2G,(Ms + m),a^3
e a “constante” varia, no máximo, uns 0,1 % entre os planetas do Sistema Solar.

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