Duas particulas cuja massa reduzida é mu interagem via uma energia potencial U=12 k r^2, onde r é a distância entre elas. Determine a separação de equilibrio ro, a distância que as duas particulas podem circular uma a outra com constante r.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado está pedindo.
Temos duas partículas que interagem por um potencial de mola
U(r)=tfrac12,k,r^2,,
onde é a distância entre elas e a massa reduzida do sistema é .
O objetivo é achar a separação de equilíbrio , ou seja, o valor de em que elas conseguem “girar” uma em torno da outra com constante (órbita circular).
Matéria envolvida: mecânica de partículas em potenciais centrais.
O que vamos usar:
• Massa reduzida .
• Energia potencial efetiva (incluindo termo centrífugo).
• Condição de equilíbrio: mínimo da energia potencial efetiva, isto é .

Passo 2

Para órbita circular, além do potencial elástico T=tfrac12,mul(dot r^2 + r^2dottheta^2r), , existe um “empurrão” centrífugo vindo do momento angular constante L=mu,r^2,dotthetaLongrightarrowdottheta=Lmu,r^2, .
Em coordenadas polares, a energia cinética do movimento relativo é
tfrac12,mu,r^2dottheta^2 = L^22,mu,r^2,
Definimos o momento angular
Urm eff(r)=L^22,mu,r^2 ;+;12,k,r^2,
O termo vira então

Logo, a energia potencial efetiva é

Passo 3

A condição de equilíbrio (órbita circular estável) é que o dUrm effdr =ddrl(L^22mu,r^2+12,k,r^2r) =-L^2mu,r^3+k,r stackrel!=0, esteja num mínimo de .
Então basta derivar e igualar a zero:

Passo 4

Resolvendo
-L^2mu,r^3+k,r=0 Longrightarrow k,r^4=L^2mu Longrightarrow r^4=L^2mu,k
boxedr0=l(L^2mu,kr)^1/4,

Resposta

r0 = (L^2mu,k)^!1/4

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