6- Deduza a área do cilindro de raio 2 e altura 3.

Passo 1

O enunciado pede que eu deduza a área do cilindro sabendo que o raio vale 2 e a altura vale 3. Informações dadas:
  • raio: r=2,
  • altura: h=3.
    A tarefa é calcular a área do cilindro com esses dados.

Passo 2

Primeiro vamos entender o que compõe a “área do cilindro”. Um cilindro circular reto tem três superfícies que contribuem para a área total:
  • a superfície lateral (a “casca” curvada),
  • a base inferior (um círculo),
  • a base superior (outro círculo).
    Portanto a área total é a soma da área lateral com as áreas das duas bases:
A_{\text{total}} = A_{\text{lat}} + 2A_{\text{base}}.

Passo 3

Agora deduzo a fórmula da área lateral. Imagine “desenrolar” a superfície lateral do cilindro: ela vira um retângulo cuja altura é h e cuja largura é o comprimento da circunferência da base. O comprimento da circunferência de um círculo de raio r é 2\pi r. Logo a área desse retângulo (a área lateral) é
A_{\text{lat}} = (\text{circunferência}) \times (\text{altura}) = 2\pi r \cdot h.ê
Explicando as variáveis: r é o raio da base do cilindro, h é a altura do cilindro, e \pi é a constante que relaciona a circunferência ao diâmetro.

Passo 4

Agora deduzo a fórmula da área da base. A base é um círculo de raio r. A fórmula clássica para a área de um círculo é
A_{\text{base}} = \pi r^2.
Aqui r é o raio e \pi é a mesma constante. (Se não lembrar a origem dessa fórmula, pense que a área cresce com o quadrado do raio porque ao dobrar o raio a área fica quatro vezes maior.)

Passo 5

Vamos aplicar as fórmulas aos valores dados. Primeiro a área lateral com r=2 e h=3:
A_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 2 \cdot 3 = 12\pi.

Passo 6

Agora a área de uma base com r=2:
A_{\text{base}} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi.
Como há duas bases, a contribuição das bases é
2A_{\text{base}} = 2\cdot 4\pi = 8\pi.

Passo 7

Somando a área lateral e as duas bases obtemos a expressão total (a soma está pronta para simplificação):
A_{\text{total}} = A_{\text{lat}} + 2A_{\text{base}} = 12\pi + 8\pi.

Resposta

20\pi

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