7- Deduza a área do cone, cujo raio da base é 3 e tem altura 2 .

Passo 1

O enunciado pede a área do cone e dá as seguintes informações:
  • raio da base: r=3,
  • altura: h=2.
A pergunta é: determinar a área do cone (vou entender aqui como a área total da superfície do cone, ou seja, área lateral mais área da base). Essas são todas as informações que temos; vamos usá‑las para calcular a área total.

Passo 2

Primeiro precisamos do comprimento gerador (ou geratriz) do cone, também chamado de altura oblíqua ou apótema do cone, que vou chamar de l. Geometricamente, l é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujo cateto vertical é a altura h do cone e cujo cateto horizontal é o raio r da base. Aplicamos o Teorema de Pitágoras.
Explicando o Teorema de Pitágoras: em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Se os catetos são a e b e a hipotenusa é c, então
c^2=a^2+b^2.
No nosso caso, a=h, b=r e c=l. Portanto,
l^2 = h^2 + r^2.
Substituindo os valores h=2 e r=3:
l^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13.
Logo,
l = \sqrt{13}.

Passo 3

Agora vamos entender a fórmula da área lateral do cone. Se você “desenrolar” a superfície lateral do cone, ela vira um setor circular (uma fatia de círculo) de raio l (o raio desse setor é a geratriz) e cuja medida do arco externo é igual à circunferência da base do cone, isto é 2\pi r.
A área de um círculo de raio l é \pi l^2. A área de um setor circular cuja medida do arco é s (comprimento do arco) é
\text{área do setor} = \frac{s}{2\pi l}\cdot \pi l^2,á
porque \frac{s}{2\pi l} é a fração do círculo inteira representada pelo setor (arc length dividido pelo comprimento total 2\pi l). No nosso caso s=2\pi r. Substituindo:
\text{área lateral} = \frac{2\pi r}{2\pi l}\cdot \pi l^2 = \pi r l.á
Portanto a fórmula bem conhecida: a área lateral de um cone é \pi r l.

Passo 4

Calculamos a área lateral usando r=3 e l=\sqrt{13}:
\text{área lateral} = \pi r l = \pi \cdot 3 \cdot \sqrt{13} = 3\pi\sqrt{13}.á

Passo 5

A área da base é a área de um círculo de raio r, fórmula \pi r^2. Substituindo r=3:
\text{área da base} = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi.á

Passo 6

A área total do cone é a soma da área lateral com a área da base:
\text{área total} = \text{área lateral} + \text{área da base}.ááá
Substituindo os valores que obtivemos:
\text{área total} = 3\pi\sqrt{13} + 9\pi.á
Fatorando \pi e 3:
\text{área total} = 3\pi\bigl(\sqrt{13} + 3\bigr).á
Se quiser uma aproximação numérica, usando \sqrt{13}\approx 3,605551:
\text{área total}\approx 3\pi(3,605551+3)=3\pi\cdot 6,605551\approx 62,256.á

Resposta

3\pi\bigl(\sqrt{13}+3\bigr) 62,256

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