7- Deduza a área do cone, cujo raio da base é 3 e tem altura 2 .
Passo 1
O enunciado pede a área do cone e dá as seguintes informações:
- raio da base:
, - altura:
.
A pergunta é: determinar a área do cone (vou entender aqui como a área total da superfície do cone, ou seja, área lateral mais área da base). Essas são todas as informações que temos; vamos usá‑las para calcular a área total.
Passo 2
Primeiro precisamos do comprimento gerador (ou geratriz) do cone, também chamado de altura oblíqua ou apótema do cone, que vou chamar de
. Geometricamente,
é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujo cateto vertical é a altura
do cone e cujo cateto horizontal é o raio
da base. Aplicamos o Teorema de Pitágoras.
Explicando o Teorema de Pitágoras: em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Se os catetos são
e
e a hipotenusa é
, então
No nosso caso,
,
e
. Portanto,
Substituindo os valores
e
:
Logo,
Passo 3
Agora vamos entender a fórmula da área lateral do cone. Se você “desenrolar” a superfície lateral do cone, ela vira um setor circular (uma fatia de círculo) de raio
(o raio desse setor é a geratriz) e cuja medida do arco externo é igual à circunferência da base do cone, isto é
.
A área de um círculo de raio
é
. A área de um setor circular cuja medida do arco é
(comprimento do arco) é
porque
é a fração do círculo inteira representada pelo setor (arc length dividido pelo comprimento total
). No nosso caso
. Substituindo:
Portanto a fórmula bem conhecida: a área lateral de um cone é
.
Passo 4
Calculamos a área lateral usando
e
:
Passo 5
A área da base é a área de um círculo de raio
, fórmula
. Substituindo
:
Passo 6
A área total do cone é a soma da área lateral com a área da base:
Substituindo os valores que obtivemos:
Fatorando
e
:
Se quiser uma aproximação numérica, usando
: