Exercício 1 (
pontos): Considere a função
a) Determine o domínio natural da função.
b) Determine a imagem da função.
c) Determine as raízes da função, se houver.
d) Determine em quais intervalos a função é: crescente; decrescente; constante.
e) Faça um esboço do gráfico da função.
f) A função
admite inversa quando restringirmos o domínio ao intervalo aberto
? Justifique sua resposta. Se sim, encontre a lei da função inversa.
b) Determine a imagem da função.
c) Determine as raízes da função, se houver.
d) Determine em quais intervalos a função é: crescente; decrescente; constante.
e) Faça um esboço do gráfico da função.
f) A função
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede, em partes:
a) o domínio natural;
b) a imagem (conjunto das possíveis saídas);
c) as raízes (zeros) da função;
d) os intervalos em que a função é crescente, decrescente ou constante;
e) um esboço do gráfico;
f) se, ao restringir o domínio a , a função admite inversa — e, em caso afirmativo, encontrar a lei da inversa.
a) o domínio natural;
b) a imagem (conjunto das possíveis saídas);
c) as raízes (zeros) da função;
d) os intervalos em que a função é crescente, decrescente ou constante;
e) um esboço do gráfico;
f) se, ao restringir o domínio a
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica
(um quociente de polinômios). Observação imediata: o denominador não pode ser zero, então
é um ponto que precisa ser tratado com cuidado.
Passo 2
Domínio — o que é e como obter.
Definição rápida: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a expressão faz sentido (está bem definida). No caso de frações, devemos impedir divisão por zero. Aqui o denominador é
. Igualando a zero:
Definição rápida: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
Portanto,
não pertence ao domínio. Todos os outros números reais funcionam (numerador é polinômio, sempre definido). Conclusão:
Passo 3
Imagem (alcance) — ideia e cálculo prático.
Definição: a imagem é o conjunto de valores que a função toma quando
varia pelo domínio. Um método prático para funções racionais como esta é tratar
como parâmetro e resolver a equação
Definição: a imagem é o conjunto de valores
para
em função de
; em seguida vemos quais
geram solução válida em
.
Começo isolando
. Multiplicando ambos os lados por
(assumindo provisoriamente
, o que já é verdade no domínio):
Desenvolvendo:
Coloco os termos com
juntos:
Faço fatoração:
Agora, para obter
preciso dividir por
. Isso é permitido desde que
, isto é,
. Assim:
Interpretação: para qualquer
existe um
(dado acima) que produz esse
, e esse
não bate com
(pode checar, mas é verdade). Resta ver se
pode ocorrer: suponha
. Então
contradição. Logo
não é atingido. Conclusão:
Passo 4
Raízes (zeros) da função — procedimento direto.
Raiz é valor tal que
. Para uma fração, isso ocorre quando o numerador é zero (e o denominador é não nulo). Numerador aqui é
. Então:
Raiz é valor
Verifico o denominador em
:
, válido. Portanto existe exatamente uma raiz:
Passo 5
Monotonicidade — uso da derivada e interpretação.
Para dizer onde a função é crescente ou decrescente, usamos o sinal da derivada . Breve aula: se
num intervalo,
é crescente lá; se
,
é decrescente; se
identicamente num intervalo, é constante. Aqui aplicamos a regra do quociente: para
Para dizer onde a função é crescente ou decrescente, usamos o sinal da derivada
temos
No nosso caso
e
. Então
e
. Calculando:
Agora análise do sinal:
para todo
. Assim o numerador
torna
sempre negativo para todo
do domínio. Logo
em todo o domínio, o que implica que
é estritamente decrescente em cada componente do domínio. Como o domínio tem duas peças separadas por
, concluímos:
Não existe intervalo em que seja crescente, e não é constante em nenhuma parte do domínio.
Passo 6
Comportamento assintótico e pontos notáveis — preparando o esboço.
Assintotas:
Assintotas:
- Vertical: quando denominador
e numerador . Aqui é assíntota vertical, porque ao aproximar-se de o denominador vai a enquanto o numerador tende a . Mais precisamente,
- Horizontal: comparar graus dos polinômios numerador e denominador (ambos de grau
). A assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes: . Assim
Pontos de referência (avaliar a função em valores simples):
Resumo do comportamento:
- Para
: é decrescente, tende a quando (vindo por baixo, valores próximos de mas ), passa por e vai para ao aproximar-se de . - Para
: é decrescente, vai de (quando ) decrescendo a valores sempre , aproximando-se de quando .
Essas informações bastam para um esboço.
Passo 7
Esboço do gráfico — descrição clara (para que você possa desenhar na prova).
Instruções para desenhar:
Instruções para desenhar:
- Desenhe a reta vertical tracejada
(assíntota vertical). - Desenhe a reta horizontal tracejada
(assíntota horizontal). - No ramo esquerdo (
) desenhe uma curva que, vindo da esquerda, aproxima-se de por baixo; passa por e por ; e desce para quando . - No ramo direito (
) desenhe uma curva que sai de logo à direita de , passa por , e vai decrescendo, aproximando-se de por cima quando .
Comentário útil: a função é uma hipérbole equilátera deslocada; note que algebraicamente
é sua própria inversa (aplicando a fórmula duas vezes volta-se a
), por isso os ramos são simétricos em relação à bissetriz
. (Isso também ajuda a conferir o desenho.)
Passo 8
Inversa na restrição de domínio
— existência e cálculo.
Critério de existência de inversa (no contexto da prova): a função tem inversa em um intervalo se for bijetora (injetora e sobrejetora) entre o domínio restrito e a imagem correspondente. Uma condição suficiente simples é que a função seja estritamente monotônica (aqui decrescente) e contínua nesse intervalo: então é injetora; se considerarmos sua imagem sobre esse intervalo, será sobrejetora por definição.
Critério de existência de inversa (no contexto da prova): a função tem inversa em um intervalo se for bijetora (injetora e sobrejetora) entre o domínio restrito e a imagem correspondente. Uma condição suficiente simples é que a função seja estritamente monotônica (aqui decrescente) e contínua nesse intervalo: então é injetora; se considerarmos sua imagem sobre esse intervalo, será sobrejetora por definição.
Já vimos que em
a função é estritamente decrescente; portanto é injetora. Qual é a imagem quando
? Analisamos limites:
Como é decrescente do
até
, a imagem é
. Logo
é bijetora e admite inversa.
Para encontrar a lei da inversa, repetimos a manipulação algébrica do Passo 3, agora interpretando
como saída e trocando o papel das variáveis para escrever
. Partimos de
e isolamos
(já fizemos isso):
Trocando
por
(para escrever a função inversa em termos de sua variável de entrada), obtemos a lei:
Observação simpática: a expressão da inversa coincide com a da função original — isto é,
é uma involução quando considerada com domínios/ imagens apropriadas.
Resposta
a)
b)
c)
d) decrescente em e em
; não é crescente nem constante em nenhum intervalo do domínio.
e) Assíntotas: vertical , horizontal
. Ramo para
: decrescente, tende a
quando
, passa por
e vai a
quando
. Ramo para
: decrescente, vai de
(em
) e aproxima-se de
por cima quando
; pontos exemplo
.
b)
c)
d) decrescente em
e) Assíntotas: vertical
f) Sim. Em
é estritamente decrescente e bijetora para
, logo admite inversa. A lei é