Deduza os balanços de momento linear e angular para volume de controle (a partir dos respectivos balanços para sistemas). Mostre as expressões desses balanços quando o regime é permanente e as propriedades são constantes nas entradas e saídas.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir, a partir dos balanços de sistema, as formas integrais dos balanços de momento linear e de momento angular para um volume de controle (VC), usando o Teorema de Reynolds. Em seguida, devemos especializar essas equações para regime permanente e ainda assumir que as propriedades fluídas nas seções de entrada e de saída são constantes.

Passo 2

Começamos lembrando o Teorema de Reynolds para uma grandeza extensiva B cujo conteúdo no sistema é B_\text{sys}=\int_{SV} b\,\rho\,\mathrm{d}V. O TRT diz:
\frac{\mathrm{d}B_\text{sys}}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}b\,\rho\,\mathrm{d}V + \int_{CS}b\,\rho\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}A.
Para o momento linear, tomamos b=\mathbf{u}; para o momento angular em relação a uma origem O, tomamos b=\mathbf{r}\times\mathbf{u}.

Passo 3

Balanço de momento linear. A variação do momento linear do sistema é igual à soma das forças externas \sum\mathbf{F}_\text{ext}. Aplicando o TRT com b=\mathbf{u}:
\sum\mathbf{F}_\text{ext} = \frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\rho\,\mathbf{u}\,\mathrm{d}V + \int_{CS}\rho\,\mathbf{u}\,(\mathbf{u}\cdot\mathbf{n})\,\mathrm{d}A.
Esse é o balanço geral no volume de controle.

Passo 4

Especialização para regime permanente e propriedades constantes nas seções. Em regime permanente \partial/\partial t=0. Se as densidades e velocidades são uniformes em cada seção k de área A_k, com vetores de saída ou entrada \mathbf{u}_k e vetores normais \mathbf{n}_k, então
\sum\mathbf{F}_\text{ext} = \sum_{k}\rho\,\mathbf{u}_k\,(\mathbf{u}_k\cdot\mathbf{n}_k)\,A_k.
Em termos de vazão mássica \dot m_k=\rho\,(\mathbf{u}_k\cdot\mathbf{n}_k)\,A_k, podemos escrever
\sum\mathbf{F}_\text{ext} = \sum_{k}\dot m_k\,\mathbf{u}_k.

Passo 5

Balanço de momento angular em relação à origem O. A soma dos momentos externos \sum\mathbf{M}_\text{ext} é igual à variação do momento angular do sistema. Pelo TRT com b=\mathbf{r}\times\mathbf{u}:
\sum\mathbf{M}_\text{ext} = \frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{u})\,\mathrm{d}V + \int_{CS}\rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{u})\,(\mathbf{u}\cdot\mathbf{n})\,\mathrm{d}A.

Passo 6

Regime permanente e propriedades constantes nas seções de entrada/saída dão \partial/\partial t=0 e uniformidade em cada seção k. Assim
\sum\mathbf{M}_\text{ext} = \sum_{k}\rho\,(\mathbf{r}_k\times\mathbf{u}_k)\,(\mathbf{u}_k\cdot\mathbf{n}_k)\,A_k = \sum_{k}\dot m_k\,(\mathbf{r}_k\times\mathbf{u}_k).

Resposta

Balanço de momento linear (steady, propriedades constantes):
\sum\mathbf{F}_\text{ext} = \sum_{k}\dot m_k\,\mathbf{u}_k.
Balanço de momento angular (steady, propriedades constantes):
\sum\mathbf{M}_\text{ext} = \sum_{k}\dot m_k\,(\mathbf{r}_k\times\mathbf{u}_k).

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