Deduza a distribuição do range de uma amostra aleatória de tamanho 4 de uma distribuição tendo densidade f_{X}(x)=2 x \boldsymbol{I}_{(0<x<1)}

Passo 1

O enunciado pede que a gente deduza a distribuição do range (amplitude) de uma amostra aleatória de tamanho 4 de uma variável com densidade
f_{X}(x)=2x\boldsymbol{I}_{(0<x<1)}.
Ou seja:
  • O que é dado: a densidade marginal de cada observação X é f_X(x)=2x para 0<x<1 (e zero fora).
  • O que se pede: a distribuição (vamos obter a densidade) da variável R definida como range R = X_{(4)} - X_{(1)}, onde X_{(1)} é o menor valor da amostra e X_{(4)} o maior, com n=4.
  • Observações de contorno: a amplitude R só pode assumir valores em (0,1) porque todas as observações estão em (0,1).

Passo 2

Primeiro vamos achar a função de distribuição acumulada (CDF) da variável original X, porque ela aparece nas fórmulas de estatística de ordem. Dada a densidade f_X(x)=2x em (0,1), integramos:
F_X(x)=\int_{0}^{x} 2t\,dt = x^{2},\qquad 0<x<1.
Então temos explicitamente \;F_X(x)=x^{2} para 0<x<1.

Passo 3

Agora uma pequena aula sobre order statistics que vamos usar: para n observações iid com CDF F e pdf f, a densidade conjunta do mínimo X_{(1)}=m e do máximo X_{(n)}=M (com m<M) é
g_{m,M}(m,M)=n(n-1)\,[F(M)-F(m)]^{\,n-2}\,f(m)\,f(M).
Intuição rápida: escolhemos dois valores para serem min e max (fatores f(m)f(M)), escolhemos quais observações ocupam esses papéis ( n(n-1)) e as demais n-2 devem cair entre m e M, o que contribui com [F(M)-F(m)]^{n-2}.
Aqui n=4. Vamos aplicar essa fórmula com F(x)=x^{2} e f(x)=2x.

Passo 4

Aplicando a fórmula para n=4, obtemos, para 0<m<M<1,
g_{m,M}(m,M)=4\cdot 3\,[F(M)-F(m)]^{2}\,f(m)\,f(M) =12\,[M^{2}-m^{2}]^{2}\,(2m)\,(2M).
Simplificando:
g_{m,M}(m,M)=48\,mM\,[M^{2}-m^{2}]^{2},\qquad 0<m<M<1.

Passo 5

Queremos a densidade do range R=M-m. Fazemos a transformação
S=m,\qquad R=M-m,
ou seja m=S,\;M=S+R. O domínio da transformação: S>0 e S+R<1, logo 0<R<1 e 0<S<1-R.
Jacobiano da transformação (S,R)\mapsto(m,M): a matriz dos derivativos tem determinante 1, logo |J|=1. Assim a densidade conjunta de (S,R) é
h_{S,R}(s,r)=g_{m,M}(s,s+r).
Substituindo:
h_{S,R}(s,r)=48\,s(s+r)\big[(s+r)^{2}-s^{2}\big]^{2}.

Passo 6

Simplificamos o fator (s+r)^{2}-s^{2}:
(s+r)^{2}-s^{2}=2sr+r^{2}=r(2s+r).
Portanto
h_{S,R}(s,r)=48\,s(s+r)\big[r(2s+r)\big]^{2} =48\,r^{2}\,s(s+r)\,(2s+r)^{2}.
A densidade marginal de R é
f_{R}(r)=\int_{0}^{1-r} h_{S,R}(s,r)\,ds = \int_{0}^{1-r}48\,r^{2}\,s(s+r)\,(2s+r)^{2}\,ds, \qquad 0<r<1.

Passo 7

Agora fazemos a integral passo a passo. Expansão interna:
(2s+r)^{2}=4s^{2}+4sr+r^{2},
então
s(s+r)(2s+r)^{2}=4s^{4}+8s^{3}r+5s^{2}r^{2}+s r^{3}.
Multiplicando por 48r^{2},
48\,r^{2}\,s(s+r)(2s+r)^{2} =48\big(4r^{2}s^{4}+8r^{3}s^{3}+5r^{4}s^{2}+r^{5}s\big).
Integramos termo a termo em s de 0 a 1-r:
f_{R}(r)=48\Big[ 4r^{2}\frac{(1-r)^{5}}{5} +8r^{3}\frac{(1-r)^{4}}{4} +5r^{4}\frac{(1-r)^{3}}{3} +r^{5}\frac{(1-r)^{2}}{2} \Big].

Passo 8

Simplificamos os coeficientes dentro do colchete:
f_{R}(r)=\frac{192}{5}r^{2}(1-r)^{5}+96r^{3}(1-r)^{4}+80r^{4}(1-r)^{3}+24r^{5}(1-r)^{2}, \qquad 0<r<1.
Fatorando r^{2}(1-r)^{2} e simplificando um pouco, uma forma compacta é
f_{R}(r)=\frac{1}{5}\,r^{2}(1-r)^{2}\big(192-96r+16r^{2}+8r^{3}\big),\qquad 0<r<1.
Pode-se também escrever, extraindo um fator 8,
f_{R}(r)=\frac{8}{5}\,r^{2}(1-r)^{2}\big(24-12r+2r^{2}+r^{3}\big),\qquad 0<r<1.

Resposta

f_{R}(r)=\frac{1}{5}\,r^{2}(1-r)^{2}\big(192-96r+16r^{2}+8r^{3}\big),\qquad 0<r<1

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