Deduza a distribuição do range de uma amostra aleatória de tamanho 4 de uma distribuição tendo densidade
Passo 1
O enunciado pede que a gente deduza a distribuição do range (amplitude) de uma amostra aleatória de tamanho
de uma variável com densidade
Ou seja:
- O que é dado: a densidade marginal de cada observação
é para (e zero fora). - O que se pede: a distribuição (vamos obter a densidade) da variável
definida como range , onde é o menor valor da amostra e o maior, com . - Observações de contorno: a amplitude
só pode assumir valores em porque todas as observações estão em .
Passo 2
Primeiro vamos achar a função de distribuição acumulada (CDF) da variável original
, porque ela aparece nas fórmulas de estatística de ordem. Dada a densidade
em
, integramos:
Então temos explicitamente
para
.
Passo 3
Agora uma pequena aula sobre order statistics que vamos usar: para
observações iid com CDF
e pdf
, a densidade conjunta do mínimo
e do máximo
(com
) é
Intuição rápida: escolhemos dois valores para serem min e max (fatores
), escolhemos quais observações ocupam esses papéis (
) e as demais
devem cair entre
e
, o que contribui com
.
Aqui
. Vamos aplicar essa fórmula com
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula para
, obtemos, para
,
Simplificando:
Passo 5
Queremos a densidade do range
. Fazemos a transformação
ou seja
. O domínio da transformação:
e
, logo
e
.
Jacobiano da transformação : a matriz dos derivativos tem determinante
, logo
. Assim a densidade conjunta de
é
Jacobiano da transformação
Substituindo:
Passo 6
Simplificamos o fator
:
Portanto
A densidade marginal de
é
Passo 7
Agora fazemos a integral passo a passo. Expansão interna:
então
Multiplicando por
,
Integramos termo a termo em
de
a
:
Passo 8
Simplificamos os coeficientes dentro do colchete:
Fatorando
e simplificando um pouco, uma forma compacta é
Pode-se também escrever, extraindo um fator
,