Sejam
variáveis aleatórias iid
.
(a) Mostre que
possui distribuição exponencial com parâmetro
.
(b) Encontre a função densidade de probabilidade condicional de
dado
, em que
.
(a) Mostre que
(b) Encontre a função densidade de probabilidade condicional de
Passo 1
O enunciado diz que
são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição exponencial de parâmetro
. Definimos
As perguntas são:
- Mostrar que
é exponencial com parâmetro . - Encontrar a densidade condicional de
dado , isto é, .
Informações dadas que usaremos explicitamente: a densidade e a função de distribuição de cada
(Exp(1)) são
Passo 2
Ideia para (a): usar a função sobrevivência (complemento da CDF). Para uma variável
, a função sobrevivência é
. Para o mínimo
temos
Como as
são independentes, a probabilidade conjunta factoriza:
Essa é a técnica padrão: o evento de que o mínimo seja maior que
ocorre exatamente quando todas as
são maiores que
.
Passo 3
Calcule
para Exp(1): usando a CDF,
Então
Assim a função de distribuição de
é
Derivando obtemos a densidade
Passo 4
Conclusão de (a): a densidade
é justamente a densidade de uma exponencial com parâmetro
. Logo
. (Explicação didática: o parâmetro em Exp(
) é o coeficiente no exponencial; aqui
.)
Passo 5
Agora (b). Método: obter a densidade conjunta de
como estatística de ordem e dividir pela densidade marginal de
. Vou usar a fórmula geral para a densidade conjunta do menor e do maior (estatísticas de ordem extremas) para variáveis iid contínuas: para
,
Explicação dessa fórmula (intuição): escolhemos qual das
é o mínimo e qual das restantes
é o máximo (fator
), os
valores restantes devem cair no intervalo
(probabilidade
), e multiplicamos pelas densidades do mínimo e do máximo nos pontos
e
.
Passo 6
Substituímos
e
de Exp(1). Para
com
,
e
Logo a densidade conjunta é
para
, e zero caso contrário.
Passo 7
Precisamos da densidade marginal de
. Uma forma direta: a CDF do máximo é
Derivando, obtemos a densidade
para
.
Passo 8
Agora a densidade condicional
Substituímos as expressões obtidas; para
temos
Cancelando fatores
e
dá
Passo 9
Interpretação/simplificação útil (opcional, para fixar a intuição): defina
Para
temos
. Calculando a transformação, nota-se que a densidade de
condicional em
é
ou seja,
tem distribuição Beta
. Isso dá uma visão clara: condicionado no máximo, a posição relativa do mínimo (na escala log/exponencial) é distribuída como uma Beta. Mas a forma explícita da densidade de
é a expressão do Passo 8.