Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} variáveis aleatórias iid \operatorname{Exp}(1).
(a) Mostre que Y_{1}=\min \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) possui distribuição exponencial com parâmetro n.
(b) Encontre a função densidade de probabilidade condicional de Y_{1} dado Y_{n}=y_{n}, em que Y_{n}=\max \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right).

Passo 1

O enunciado diz que X_{1},\dots,X_{n} são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição exponencial de parâmetro 1. Definimos
Y_{1}=\min(X_{1},\dots,X_{n}),\qquad Y_{n}=\max(X_{1},\dots,X_{n}).
As perguntas são:
  1. Mostrar que Y_{1} é exponencial com parâmetro n.
  2. Encontrar a densidade condicional de Y_{1} dado Y_{n}=y_{n}, isto é, f_{Y_{1}\mid Y_{n}}(y_{1}\mid y_{n}).
Informações dadas que usaremos explicitamente: a densidade e a função de distribuição de cada X_i (Exp(1)) são
f_X(x)=e^{-x}\mathbf{1}_{\{x\ge0\}},\qquad F_X(x)=1-e^{-x}\quad (x\ge0).

Passo 2

Ideia para (a): usar a função sobrevivência (complemento da CDF). Para uma variável Z, a função sobrevivência é P(Z>t)=1-F_Z(t). Para o mínimo Y_{1}=\min(X_1,\dots,X_n) temos
P(Y_{1}>t)=P(X_{1}>t,\dots,X_{n}>t).
Como as X_i são independentes, a probabilidade conjunta factoriza:
P(Y_{1}>t)=\prod_{i=1}^n P(X_i>t).
Essa é a técnica padrão: o evento de que o mínimo seja maior que t ocorre exatamente quando todas as X_i são maiores que t.

Passo 3

Calcule P(X_i>t) para Exp(1): usando a CDF,
P(X_i>t)=1-F_X(t)=e^{-t}\quad\text{para }t\ge0.
Então
P(Y_{1}>t)=\big(e^{-t}\big)^n=e^{-nt}\quad\text{para }t\ge0.
Assim a função de distribuição de Y_{1} é
F_{Y_1}(t)=1-P(Y_{1}>t)=1-e^{-nt}\quad(t\ge0).
Derivando obtemos a densidade
f_{Y_1}(t)=\frac{d}{dt}F_{Y_1}(t)=n e^{-nt}\quad(t\ge0).

Passo 4

Conclusão de (a): a densidade f_{Y_1}(t)=n e^{-nt} é justamente a densidade de uma exponencial com parâmetro n. Logo Y_{1}\sim\operatorname{Exp}(n). (Explicação didática: o parâmetro em Exp( \lambda) é o coeficiente no exponencial; aqui \lambda=n.)

Passo 5

Agora (b). Método: obter a densidade conjunta de (Y_1,Y_n) como estatística de ordem e dividir pela densidade marginal de Y_n. Vou usar a fórmula geral para a densidade conjunta do menor e do maior (estatísticas de ordem extremas) para variáveis iid contínuas: para 0\le y_1<y_n,
f_{Y_1,Y_n}(y_1,y_n)=n(n-1)\big(F_X(y_n)-F_X(y_1)\big)^{\,n-2} f_X(y_1) f_X(y_n).
Explicação dessa fórmula (intuição): escolhemos qual das n é o mínimo e qual das restantes n-1 é o máximo (fator n(n-1)), os n-2 valores restantes devem cair no intervalo (y_1,y_n) (probabilidade [F_X(y_n)-F_X(y_1)]^{n-2}), e multiplicamos pelas densidades do mínimo e do máximo nos pontos y_1 e y_n.

Passo 6

Substituímos f_X e F_X de Exp(1). Para y_1,y_n\ge0 com y_1<y_n,
F_X(y_n)-F_X(y_1)=(1-e^{-y_n})-(1-e^{-y_1})=e^{-y_1}-e^{-y_n},
e
f_X(y_1)f_X(y_n)=e^{-y_1}e^{-y_n}=e^{-y_1-y_n}.
Logo a densidade conjunta é
f_{Y_1,Y_n}(y_1,y_n)=n(n-1)\big(e^{-y_1}-e^{-y_n}\big)^{\,n-2} e^{-y_1-y_n},
para 0\le y_1<y_n, e zero caso contrário.

Passo 7

Precisamos da densidade marginal de Y_n. Uma forma direta: a CDF do máximo é
P(Y_n\le t)=P(X_1\le t,\dots,X_n\le t)=\big(F_X(t)\big)^n=(1-e^{-t})^n.
Derivando, obtemos a densidade
f_{Y_n}(t)=\frac{d}{dt}(1-e^{-t})^n = n(1-e^{-t})^{\,n-1} e^{-t},
para t\ge0.

Passo 8

Agora a densidade condicional
f_{Y_1\mid Y_n}(y_1\mid y_n) =\frac{f_{Y_1,Y_n}(y_1,y_n)}{f_{Y_n}(y_n)}.
Substituímos as expressões obtidas; para 0\le y_1<y_n temos
f_{Y_1\mid Y_n}(y_1\mid y_n) =\frac{n(n-1)\big(e^{-y_1}-e^{-y_n}\big)^{\,n-2} e^{-y_1-y_n}} {n(1-e^{-y_n})^{\,n-1} e^{-y_n}}.
Cancelando fatores n e e^{-y_n}
f_{Y_1\mid Y_n}(y_1\mid y_n)=(n-1)\,\frac{\big(e^{-y_1}-e^{-y_n}\big)^{\,n-2} e^{-y_1}} {(1-e^{-y_n})^{\,n-1}}.

Passo 9

Interpretação/simplificação útil (opcional, para fixar a intuição): defina
u=\frac{e^{-y_1}-e^{-y_n}}{1-e^{-y_n}}.
Para 0\le y_1\le y_n temos 0\le u\le1. Calculando a transformação, nota-se que a densidade de u condicional em y_n é
f_U(u)= (n-1) u^{\,n-2},\quad 0\le u\le1,
ou seja, U tem distribuição Beta (n-1,1). Isso dá uma visão clara: condicionado no máximo, a posição relativa do mínimo (na escala log/exponencial) é distribuída como uma Beta. Mas a forma explícita da densidade de Y_1\mid Y_n é a expressão do Passo 8.

Resposta

Y_{1}\sim\operatorname{Exp}(n), i.e.
f_{Y_1}(t)=n e^{-nt},\quad t\ge0.
f_{Y_1\mid Y_n}(y_1\mid y_n)= \begin{cases} (n-1)\dfrac{\big(e^{-y_1}-e^{-y_n}\big)^{\,n-2} e^{-y_1}}{(1-e^{-y_n})^{\,n-1}}, & 0\le y_1\le y_n,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

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