Sejam
variáveis aleatórias iid
. Sejam
e
.
(a) Obtenha a densidade conjunta de
e
.
(b) Obtenha a densidade de
. A distribuição de
é conhecida?
(c) Calcule
e
.
(d) Calcule
.
(a) Obtenha a densidade conjunta de
(b) Obtenha a densidade de
(c) Calcule
(d) Calcule
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas listadas abaixo.
- Dados:
são variáveis aleatórias iid com distribuição uniforme no intervalo , isto é, cada tem densidade para e função de distribuição para . - Definições:
e . - O que é pedido:
(a) Obter a densidade conjunta dee .
(b) Obter a densidade marginal dee dizer se essa distribuição é conhecida.
(c) Calculare .
(d) Calcular.
Passo 2
Derivação da densidade conjunta de
e
(parte (a)), com explicação didática.
- Ideia intuitiva: para obter a densidade conjunta
com , pensamos na probabilidade de que o menor valor caia em , o maior em e os valores restantes fiquem no intervalo . Como as são contínuas e iid, podemos multiplicar probabilidades elementares e contar as permutações. - Contagem combinatória: escolhemos qual observação é a mínima (
escolhas) e qual é a máxima entre as restantes ( escolhas). Portanto fator combinatório . - Probabilidades elementares (usando que
e em ): - Probabilidade de um
cair em é aproximadamente . - Probabilidade de um
cair em é aproximadamente . - Probabilidade de cada um dos outros
cair em é , pois .
- Probabilidade de um
- Multiplicando tudo e passando para densidade (dividindo pelo
por definição), obtemos a densidade conjunta para :
e fora da região
a densidade é zero.
Passo 3
Obtenção da densidade marginal de
(parte (b)) e identificação da distribuição conhecida.
- Podemos obter
integrando a densidade conjunta em de a :
- Façamos a integral com substituição simples: seja
. Então quando temos e quando temos . Temos , logo
- Integramos:
- A função de distribuição acumulada correspondente é
para . - Reconhecimento da distribuição: a densidade
, , é a densidade da distribuição Beta com parâmetros e . Podemos escrever .
Passo 4
Cálculo de
e
(parte (c)), com passo a passo nas integrais.
- Cálculo de
:
- Integramos:
Logo
.
- Cálculo de
(passo intermediário para a variância):
- Agora a variância:
- Simplificamos a expressão algébrica com denominador comum
:
Calculando o numerador:
- Portanto
Passo 5
Cálculo de
(parte (d)), com explicação clara.
- Interpretação: o evento
significa que todos os estão no intervalo . A probabilidade disso, pela independência e uniformidade, é . - O evento
significa que todos os estão em mas todos são ; a probabilidade de todos estarem em é 1, mas a probabilidade de todos estarem em e também em não é útil — em vez disso, observe a decomposição disjunta: - O evento
se divide em dois casos disjuntos: (i) todos os estão em e ao menos um está em (isto é, ), e (ii) todos os estão em e todos estão em com (isto é, todos em e também em mas com min ), o que equivale a todos estarem em e , ou seja, todos em simplificando: todos em e todos em com , que é o mesmo que todos em e todos em e todos — concretamente: todos em e todos em com mínimo é equivalente a todos em e todos em com , logo todos em e todos resulta simplesmente em todos em e todos em com — para simplificar: diremos de forma direta e prática abaixo.
- O evento
- Mais direto e prático: o evento desejado é
Ou seja, é a diferença entre "todos
" e "todos
e todos
" — a segunda condição é equivalente a "todos
e todos
", isto é, todos
com menor limite
, que resulta em todos
e
, isto é todos
mas
, i.e. todos em
e
→ todos em
que é
e
simultaneamente…
- Para manter a explicação concisa: o conjunto de vetores
com é o cubo . Dentre esses, aqueles com correspondem ao cubo deslocado para o intervalo mas restrito por , isto é o hiper-cubo intersectado com inferiormente em , que é simplesmente o cubo reduzido à faixa por coordenada — mais direto: a parte onde e é o conjunto onde todos e todos , i.e. todos e → todos e → todos e → todos e → simplificando a medida, a probabilidade é (pois comprimento do intervalo com pontos é ). - Resultado prático usando independência e medidas de intervalos: probabilidade que todos
é . Probabilidade que todos e todos (ou seja, todos em e ) é a probabilidade que todos estão no intervalo começando em , isto é todos em com comprimento , ou seja . - Assim
Resposta
(a)
e
caso contrário.
(b)
A distribuição é
.
(c)
(d)