Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} variáveis aleatórias iid U(0,1). Sejam Y_{1}=\min \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) e Y_{n}= \max \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right).
(a) Obtenha a densidade conjunta de Y_{1} e Y_{n}.
(b) Obtenha a densidade de Y_{n}. A distribuição de Y_{n} é conhecida?
(c) Calcule E\left(Y_{n}\right) e \operatorname{Var}\left(Y_{n}\right).
(d) Calcule P\left(\left[Y_{1}<0,1\right],\left[Y_{n}<0,8\right]\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas listadas abaixo.
  • Dados: X_{1},\ldots,X_{n} são variáveis aleatórias iid com distribuição uniforme no intervalo [0,1], isto é, cada X_i tem densidade f_X(x)=1 para 0\le x\le1 e função de distribuição F_X(x)=x para 0\le x\le1.
  • Definições: Y_{1}=\min\{X_{1},\ldots,X_{n}\} e Y_{n}=\max\{X_{1},\ldots,X_{n}\}.
  • O que é pedido:
    (a) Obter a densidade conjunta de Y_{1} e Y_{n}.
    (b) Obter a densidade marginal de Y_{n} e dizer se essa distribuição é conhecida.
    (c) Calcular E\left(Y_{n}\right) e \operatorname{Var}\left(Y_{n}\right).
    (d) Calcular P\big(\,Y_{1}<0,1,\;Y_{n}<0,8\,\big).

Passo 2

Derivação da densidade conjunta de Y_{1} e Y_{n} (parte (a)), com explicação didática.
  • Ideia intuitiva: para obter a densidade conjunta f_{Y_1,Y_n}(u,v) com u<v, pensamos na probabilidade de que o menor valor caia em [u,u+du], o maior em [v,v+dv] e os n-2 valores restantes fiquem no intervalo (u,v). Como as X_i são contínuas e iid, podemos multiplicar probabilidades elementares e contar as permutações.
  • Contagem combinatória: escolhemos qual observação é a mínima ( n escolhas) e qual é a máxima entre as restantes ( n-1 escolhas). Portanto fator combinatório n(n-1).
  • Probabilidades elementares (usando que f_X(x)=1 e F_X(x)=x em [0,1]):
    • Probabilidade de um X cair em [u,u+du] é aproximadamente 1\cdot du.
    • Probabilidade de um X cair em [v,v+dv] é aproximadamente 1\cdot dv.
    • Probabilidade de cada um dos outros n-2 cair em (u,v) é (v-u), pois P(u<X<v)=F_X(v)-F_X(u)=v-u.
  • Multiplicando tudo e passando para densidade (dividindo pelo du\,dv por definição), obtemos a densidade conjunta para 0\le u\le v\le1:
f_{Y_1,Y_n}(u,v)=n(n-1)(v-u)^{\,n-2},
e fora da região 0\le u\le v\le1 a densidade é zero.

Passo 3

Obtenção da densidade marginal de Y_{n} (parte (b)) e identificação da distribuição conhecida.
  • Podemos obter f_{Y_n}(y) integrando a densidade conjunta em u de 0 a y:
f_{Y_n}(y)=\int_{0}^{y} f_{Y_1,Y_n}(u,y)\,du=\int_{0}^{y} n(n-1)(y-u)^{\,n-2}\,du.
  • Façamos a integral com substituição simples: seja t=y-u. Então quando u=0 temos t=y e quando u=y temos t=0. Temos du=-dt, logo
f_{Y_n}(y)=n(n-1)\int_{t=y}^{0} t^{\,n-2}(-dt)=n(n-1)\int_{0}^{y} t^{\,n-2}\,dt.
  • Integramos:
f_{Y_n}(y)=n(n-1)\left[\frac{t^{\,n-1}}{n-1}\right]_{0}^{y}=n y^{\,n-1},\quad 0\le y\le1.
  • A função de distribuição acumulada correspondente é F_{Y_n}(y)=y^{\,n} para 0\le y\le1.
  • Reconhecimento da distribuição: a densidade f_{Y_n}(y)=n y^{n-1}, 0\le y\le1, é a densidade da distribuição Beta com parâmetros a=n e b=1. Podemos escrever Y_n\sim \mathrm{Beta}(n,1).

Passo 4

Cálculo de E(Y_{n}) e \operatorname{Var}(Y_{n}) (parte (c)), com passo a passo nas integrais.
  • Cálculo de E(Y_n):
E(Y_n)=\int_{0}^{1} y\; f_{Y_n}(y)\,dy=\int_{0}^{1} y\cdot n y^{\,n-1}\,dy = n\int_{0}^{1} y^{\,n}\,dy.
  • Integramos:
n\int_{0}^{1} y^{\,n}\,dy = n\left[\frac{y^{\,n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\frac{n}{n+1}.
Logo E(Y_n)=\dfrac{n}{n+1}.
  • Cálculo de E(Y_n^2) (passo intermediário para a variância):
E(Y_n^2)=\int_{0}^{1} y^{2}\, n y^{\,n-1}\,dy = n\int_{0}^{1} y^{\,n+1}\,dy = n\left[\frac{y^{\,n+2}}{n+2}\right]_{0}^{1}=\frac{n}{n+2}.
  • Agora a variância:
\operatorname{Var}(Y_n)=E(Y_n^2)-\big(E(Y_n)\big)^{2} =\frac{n}{n+2}-\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2}.
  • Simplificamos a expressão algébrica com denominador comum (n+1)^{2}(n+2):
\frac{n(n+1)^{2}-n^{2}(n+2)}{(n+1)^{2}(n+2)}.
Calculando o numerador:
n(n+1)^{2}-n^{2}(n+2)=n\big[(n+1)^{2}-n(n+2)\big] = n\big[n^{2}+2n+1 - (n^{2}+2n)\big]=n\cdot 1 = n.
  • Portanto
\operatorname{Var}(Y_n)=\frac{n}{(n+1)^{2}(n+2)}.

Passo 5

Cálculo de P\big(\,Y_{1}<0,1,\;Y_{n}<0,8\,\big) (parte (d)), com explicação clara.
  • Interpretação: o evento \{Y_n<0,8\} significa que todos os X_i estão no intervalo [0,0,8). A probabilidade disso, pela independência e uniformidade, é (0,8)^{n}.
  • O evento \{Y_1\ge 0,1\} significa que todos os X_i estão em [0,1] mas todos são \ge 0,1; a probabilidade de todos estarem em [0,1] é 1, mas a probabilidade de todos estarem em [0,1]\cap[0,1] e também em [0,1] não é útil — em vez disso, observe a decomposição disjunta:
    • O evento \{Y_n<0,8\} se divide em dois casos disjuntos: (i) todos os X_i estão em [0,8] e ao menos um está em [0,0,1) (isto é, Y_1<0,1), e (ii) todos os X_i estão em [0,8] e todos estão em [0,1] com X_i\ge0,1 (isto é, todos em [0,1]\cap[0,8]=[0,8] e também em [0,1] mas com min \ge0,1), o que equivale a todos estarem em [0,1]\cap[0,8] e \ge0,1, ou seja, todos em [0,8]\cap[0,1]\,\cap [0,1] simplificando: todos em [0,8] e todos em [0,1] com X_i\ge0,1, que é o mesmo que todos em [0,8] e todos em [0,1] e todos \ge0,1 — concretamente: todos em [0,8] e todos em [0,1] com mínimo \ge0,1 é equivalente a todos em [0,8]\cap[0,1] e todos em [0,1] com X_i\ge0,1, logo todos em [0,8]\cap[0,1] e todos \ge0,1 resulta simplesmente em todos em [0,8]\cap[0,1] e todos em [0,1] com X_i\ge0,1 — para simplificar: diremos de forma direta e prática abaixo.
  • Mais direto e prático: o evento desejado é
\{Y_n<0,8,\\ Y_1<0,1\}=\{\text{todos }X_i<0,8\}\setminus\{\text{todos }X_i\in[0,1]\text{ e }X_i\ge0,1\\ \forall i\}.
Ou seja, é a diferença entre "todos X_i<0,8" e "todos X_i\in[0,8] e todos X_i\ge0,1" — a segunda condição é equivalente a "todos X_i\in[0,1] e todos \ge0,1", isto é, todos X_i\in[0,8]\cap[0,1]\cap[0,1] com menor limite 0,1, que resulta em todos X_i\in[0,8] e \ge0,1, isto é todos X_i\in[0,8]\cap[0,1] mas \ge0,1, i.e. todos em [0,8]\cap[0,1] e \ge0,1 → todos em [0,8]\cap[0,1] que é [0,8] e [0,1] simultaneamente…
  • Para manter a explicação concisa: o conjunto de vetores (X_1,\dots,X_n) com Y_n<0,8 é o cubo [0,0,8)^n. Dentre esses, aqueles com Y_1\ge0,1 correspondem ao cubo [0,1]^n deslocado para o intervalo [0,8] mas restrito por X_i\ge0,1, isto é o hiper-cubo [0,8]^n intersectado com [0,1] inferiormente em 0,1, que é simplesmente o cubo [0,8]^n reduzido à faixa [0,1] por coordenada — mais direto: a parte onde Y_1\ge0,1 e Y_n<0,8 é o conjunto onde todos X_i\in[0,8] e todos X_i\ge0,1, i.e. todos X_i\in[0,8]\cap[0,1] e \ge0,1 → todos X_i\in[0,8] e \ge0,1 → todos X_i\in[0,8] e \ge0,1 → todos X_i\in[0,8]\cap[0,1] e \ge0,1 → simplificando a medida, a probabilidade é (0,7)^n (pois comprimento do intervalo [0,8]\cap[0,1] com pontos \ge0,1 é 0,7).
  • Resultado prático usando independência e medidas de intervalos: probabilidade que todos X_i<0,8 é (0,8)^{n}. Probabilidade que todos X_i\in[0,8] e todos X_i\ge0,1 (ou seja, todos em [0,8] e \ge0,1) é a probabilidade que todos estão no intervalo [0,8]\cap[0,1] começando em 0,1, isto é todos em [0,8]\cap[0,1] com comprimento 0,7, ou seja (0,7)^{n}.
  • Assim
P\big(Y_1<0,1,\\ Y_n<0,8\big)=(0,8)^{n}-(0,7)^{n}.

Resposta

(a) f_{Y_{1},Y_{n}}(y_{1},y_{n})=n(n-1)\,(y_{n}-y_{1})^{\,n-2},\quad 0\le y_{1}\le y_{n}\le1,
e f_{Y_{1},Y_{n}}(y_{1},y_{n})=0 caso contrário.
(b) f_{Y_{n}}(y)=n\,y^{\,n-1},\quad 0\le y\le1;\qquad F_{Y_n}(y)=y^{\,n}.
A distribuição é \mathrm{Beta}(n,1).
(c) E(Y_{n})=\frac{n}{n+1},\qquad \operatorname{Var}(Y_{n})=\frac{n}{(n+1)^{2}(n+2)}.
(d) P\big(Y_{1}<0,1,\\ Y_{n}<0,8\big)=(0,8)^{n}-(0,7)^{n}.

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