Sejam
variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetro um. Considere
Prove que
e
têm a mesma distribuição. Dica:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única conclusão.
- Informação 1:
são variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetro . - Informação 2: Define-se
e - Pergunta: Provar que
e têm a mesma distribuição.
Essas são todas as informações que temos. A seguir vou resolver passo a passo e explicar toda a teoria necessária para entender cada passo.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática do método que vamos usar): para variáveis não-negativas é muito conveniente comparar transformadas de Laplace (também chamadas de funções geradoras de momento unilateral). A transformada de Laplace de uma variável aleatória não-negativa
é
Propriedade importante: se duas variáveis não-negativas tiverem a mesma transformada de Laplace para todo
, então elas têm a mesma distribuição (unicidade da transformada de Laplace). Vou calcular
e
e mostrar que são iguais para
.
Primeiro calculo
. Como os
são independentes,
Agora uso a fórmula básica para a exponencial: se
então, para
(aqui usamos
concretamente),
Aplicando isso com
obtemos
Logo
Passo 3
Agora calculo
. Primeiro obtenho a função de distribuição de
. Para
,
pois
para
. Portanto a densidade de
(derivando a CDF) é, para
,
Agora a transformada de Laplace:
Passo 4
Faço uma mudança de variável para transformar a integral numa forma conhecida (Beta). Ponho
. Então
,
e quando
vai de
a
então
vai de
a
. Substituindo e trocando os limites:
A integral que apareceu é a função Beta. Recordando a definição e a relação com a função Gama:
onde
é a função Gama. No nosso caso
e
, então
Como
, obtemos
Passo 5
Agora simplifico a expressão anterior usando a propriedade recursiva da função Gama:
Substituindo na expressão de
cancela-se
e obtemos
Como
, isso dá
Passo 6
Comparamos as duas transformadas encontradas:
Elas são iguais (as expressões coincidem). Como as duas variáveis são não-negativas e as suas transformadas de Laplace coincidem para todo
, conclui-se, pela unicidade da transformada de Laplace, que
e
têm a mesma distribuição.
Resposta
As variáveis
e
têm a mesma distribuição.