Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetro um. Considere
V=\operatorname{máx}\left\{X_{1}, \ldots, X_{n}\right\} \quad \text { e } \quad W=X_{1}+\frac{X_{2}}{2}+\frac{X_{3}}{3} \ldots+\frac{X_{n}}{n} .
Prove que V e W têm a mesma distribuição. Dica: \prod_{j=1}^{n}(j-t)=\frac{\Gamma(n+1-t)}{\Gamma(1-t)}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única conclusão.
  • Informação 1: X_{1},\ldots,X_{n} são variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetro 1.
  • Informação 2: Define-se V=\max\{X_{1},\ldots,X_{n}\}e W=X_{1}+\frac{X_{2}}{2}+\frac{X_{3}}{3}+\cdots+\frac{X_{n}}{n}.
  • Pergunta: Provar que V e W têm a mesma distribuição.
Essas são todas as informações que temos. A seguir vou resolver passo a passo e explicar toda a teoria necessária para entender cada passo.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática do método que vamos usar): para variáveis não-negativas é muito conveniente comparar transformadas de Laplace (também chamadas de funções geradoras de momento unilateral). A transformada de Laplace de uma variável aleatória não-negativa Y é
\mathcal{L}_Y(t)=\mathbb{E}\big[e^{-tY}\big],\qquad t\ge 0.
Propriedade importante: se duas variáveis não-negativas tiverem a mesma transformada de Laplace para todo t\ge0, então elas têm a mesma distribuição (unicidade da transformada de Laplace). Vou calcular \mathcal{L}_W(t) e \mathcal{L}_V(t) e mostrar que são iguais para t\ge0.
Primeiro calculo \mathcal{L}_W(t). Como os X_j são independentes,
\mathcal{L}_W(t)=\mathbb{E}\Big[e^{-t\left(X_{1}+\frac{X_{2}}{2}+\cdots+\frac{X_{n}}{n}\right)}\Big] =\prod_{j=1}^{n}\mathbb{E}\Big[e^{-t\frac{X_{j}}{j}}\Big].
Agora uso a fórmula básica para a exponencial: se X\sim\operatorname{Exp}(1) então, para s>-1 (aqui usamos s\ge0 concretamente),
\mathbb{E}\big[e^{-sX}\big]=\int_{0}^{\infty}e^{-sx}e^{-x}\,dx=\int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)x}\,dx=\frac{1}{s+1}.
Aplicando isso com s=t/j obtemos
\mathbb{E}\Big[e^{-t\frac{X_j}{j}}\Big]=\frac{1}{1+t/j}=\frac{j}{j+t}.
Logo
\mathcal{L}_W(t)=\prod_{j=1}^{n}\frac{j}{j+t}.

Passo 3

Agora calculo \mathcal{L}_V(t). Primeiro obtenho a função de distribuição de V. Para x\ge0,
\mathbb{P}(V\le x)=\mathbb{P}\big(X_1\le x,\ldots,X_n\le x\big)=\prod_{j=1}^n\mathbb{P}(X_j\le x)=(1-e^{-x})^n,
pois \mathbb{P}(X_j\le x)=1-e^{-x} para X_j\sim\operatorname{Exp}(1). Portanto a densidade de V (derivando a CDF) é, para x\ge0,
f_V(x)=\frac{d}{dx}(1-e^{-x})^n = n(1-e^{-x})^{\,n-1}e^{-x}.
Agora a transformada de Laplace:
\mathcal{L}_V(t)=\mathbb{E}\big[e^{-tV}\big]=\int_{0}^{\infty}e^{-t x}f_V(x)\,dx = n\int_{0}^{\infty}e^{-(t+1)x}\big(1-e^{-x}\big)^{n-1}\,dx.

Passo 4

Faço uma mudança de variável para transformar a integral numa forma conhecida (Beta). Ponho y=e^{-x}. Então x=-\ln y, dx=-\dfrac{dy}{y} e quando x vai de 0 a \infty então y vai de 1 a 0. Substituindo e trocando os limites:
\begin{aligned} \mathcal{L}_V(t) &= n\int_{0}^{\infty}e^{-(t+1)x}\big(1-e^{-x}\big)^{n-1}\,dx \\\ &= n\int_{1}^{0} y^{t+1}(1-y)^{n-1}\left(-\frac{dy}{y}\right) = n\int_{0}^{1} y^{t}(1-y)^{n-1}\,dy. \end{aligned}
A integral que apareceu é a função Beta. Recordando a definição e a relação com a função Gama:
\mathrm{B}(a,b)=\int_{0}^{1} y^{a-1}(1-y)^{b-1}\,dy=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)},
onde \Gamma é a função Gama. No nosso caso a=t+1 e b=n, então
\int_{0}^{1} y^{t}(1-y)^{n-1}\,dy=\mathrm{B}(t+1,n)=\frac{\Gamma(t+1)\Gamma(n)}{\Gamma(t+n+1)}.
Como n\Gamma(n)=\Gamma(n+1), obtemos
\mathcal{L}_V(t)=n\mathrm{B}(t+1,n)=\frac{\Gamma(n+1)\Gamma(t+1)}{\Gamma(t+n+1)}.

Passo 5

Agora simplifico a expressão anterior usando a propriedade recursiva da função Gama:
\Gamma(t+n+1)=(t+n)(t+n-1)\cdots(t+1)\Gamma(t+1).
Substituindo na expressão de \mathcal{L}_V(t) cancela-se \Gamma(t+1) e obtemos
\mathcal{L}_V(t)=\frac{\Gamma(n+1)}{(t+1)(t+2)\cdots(t+n)}.
Como \Gamma(n+1)=n!=\prod_{j=1}^n j, isso dá
\mathcal{L}_V(t)=\prod_{j=1}^n\frac{j}{t+j}.

Passo 6

Comparamos as duas transformadas encontradas:
\mathcal{L}_W(t)=\prod_{j=1}^{n}\frac{j}{j+t} \qquad\text{e}\qquad \mathcal{L}_V(t)=\prod_{j=1}^{n}\frac{j}{t+j}.
Elas são iguais (as expressões coincidem). Como as duas variáveis são não-negativas e as suas transformadas de Laplace coincidem para todo t\ge0, conclui-se, pela unicidade da transformada de Laplace, que V e W têm a mesma distribuição.

Resposta

As variáveis V e W têm a mesma distribuição.

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