Deduza a entropia de uma mistura binária gasosa e plote o gráfico correspondente.
Passo 1
O que o problema pede: deduzir a entropia de uma mistura binária gasosa (isto é, encontrar a expressão da variação de entropia ao misturar dois gases) e apresentar o gráfico dessa função em função da composição.
Informações e suposições que vamos usar (tudo que o enunciado não disse explicitamente, eu estou assumindo porque é o caminho padrão e justo para a prova):
Vamos tratar gases ideais.
A mistura ocorre à mesma temperatura \,T e mesma pressão \,P (condição habitual para o cálculo de entropia de mistura).
Inicialmente os gases estão separados por uma divisória, em volumes \,V_1 e \,V_2, com números de mols \,n_1 e \,n_2. Após remover a divisória, o volume total é \,V=V_1+V_2.
Definições de variáveis que usaremos:n = n_1 + n_2,\qquad x_1=\frac{n_1}{n},\qquad x_2=\frac{n_2}{n}=1-x_1,onde \,x_1 e \,x_2 são as frações molares.
Constante universal dos gases: \,R.
Não vamos resolver ainda; só identifiquei o pedido e as variáveis/condições dadas.
Passo 2
Princípio físico e fórmula básica que vamos usar (aula rápida e direta sobre entropia em processo isoterma):
Conceito: para um processo reversível a temperatura \,T, a variação de entropia é
\Delta S=\int \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal, a troca de calor reversível \delta Q_{\text{rev}} é igual ao trabalho reversível \delta W = P\,dV (porque para gás ideal em isoterma \Delta U=0, então \delta Q_{\text{rev}}=\delta W). Usando a equação de estado do gás ideal \,P V = n R T, temos:
\delta Q_{\text{rev}} = P\,dV = \frac{n R T}{V}\,dV.
Dividindo por \,T e integrando de \,V_i até \,V_f obtemos:
\Delta S = \int_{V_i}^{V_f} \frac{n R}{V}\,dV = n R \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Explicando as letras: \,n é o número de mols do gás que está se expandindo; \,R é a constante dos gases; \,V_i e \,V_f são volumes inicial e final da porção considerada. Essa é a fórmula fundamental que usamos para cada componente quando ela “se expande” para ocupar o volume total durante a mistura.
Passo 3
Aplicação ao processo de mistura (caminho reversível imaginário que usamos para calcular a variação de entropia):
Raciocínio físico padrão: quando removemos a divisória, cada gás expande livremente para ocupar o volume total \,V. Para calcular \Delta S usamos um processo reversível equivalente: cada gás i (com \,n_i mols) sofre uma expansão isotérmica reversível de \,V_i para \,V. Assim, para cada componente:
\Delta S_i = n_i R \ln\!\left(\frac{V}{V_i}\right).
Agora usamos a relação entre volumes iniciais e números de mols, válida porque inicialmente ambos os recipientes estavam à mesma T e P: pelo gás ideal,
V_i = \frac{n_i R T}{P},\qquad V = \frac{n R T}{P}.
Portanto a razão de volumes é
\frac{V}{V_i} = \frac{n R T / P}{n_i R T / P} = \frac{n}{n_i}.
Substituindo em \Delta S_i:
\Delta S_i = n_i R \ln\!\left(\frac{n}{n_i}\right).
Somando as contribuições dos dois gases, a variação de entropia total da mistura (a entropia de mistura) é
\Delta S_{\text{mix}} = n_1 R \ln\!\left(\frac{n}{n_1}\right) + n_2 R \ln\!\left(\frac{n}{n_2}\right).
Passo 4
Expressão em termos de frações molares (simplificação e forma usual):
Usando x_i = n_i / n, temos n_i = n x_i. Substituindo na expressão anterior:
\begin{aligned} \Delta S_{\text{mix}} &= n x_1 R \ln\!\left(\frac{n}{n x_1}\right) + n x_2 R \ln\!\left(\frac{n}{n x_2}\right) \\\ &= n x_1 R \ln\!\left(\frac{1}{x_1}\right) + n x_2 R \ln\!\left(\frac{1}{x_2}\right) \\\ &= -n R\left(x_1 \ln x_1 + x_2 \ln x_2\right). \end{aligned}
A função -\sum x_i \ln x_i é sempre não-negativa no intervalo 0\le x_i\le1, e é zero apenas quando uma das x_i é 1 (ou seja, mistura trivial: só um componente). Assim \Delta S_{\text{mix}}\ge0, como intuitivamente esperamos (misturar aumenta entropia).
Essa expressão é a forma clássica da entropia de mistura para componentes idealmente distintos. Se os gases forem idênticos (mesmo tipo), a entropia de mistura física deve ser zero — a resolução do chamado paradoxo de Gibbs envolve indistinguibilidade quântica/estadística; a fórmula acima assume espécies distinguíveis.
Passo 5
Análise da função e máximo (para ajudar no gráfico):
Escolhemos como variável a fração molar \,x\equiv x_1 e escrevemos a entropia de mistura molar como função de \,x:
\Delta \bar{s}_{\text{mix}}(x) = -R\big(x\ln x + (1-x)\ln(1-x)\big).
Derivada para achar extremos:
\frac{d}{dx}\Delta \bar{s}_{\text{mix}}(x) = -R(\ln x - \ln(1-x)) = -R\ln\!\left(\frac{x}{1-x}\right).
Zero da derivada quando \ln\!\left(\frac{x}{1-x}\right)=0\Rightarrow x=\tfrac{1}{2}. Segunda derivada negativa/positiva? A segunda derivada é
Comportamento nas bordas: quando x\to0 ou x\to1, \Delta \bar{s}_{\text{mix}}\to0.
Portanto o gráfico de \Delta \bar{s}_{\text{mix}}(x)/R é simétrico em x=1/2, nulo nas extremidades e com pico igual a \ln 2 em x=1/2.
Passo 6
Como plotar o gráfico (passo a passo prático e código para reproduzir na prova ou em casa):
Se quiser desenhar rapidamente no papel: trace x no eixo horizontal de 0 a 1. Em x=0 e x=1 a função vale 0. Em x=0{,}5 a função vale R\ln 2. A curva sobe suavemente desde 0 até x=0{,}5 e depois desce simetricamente até 0.
Se quiser gerar um gráfico bonito com Python/Matplotlib (código exemplo; execute em um ambiente Python):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
R = 8.31446261815324 # J/(mol K)
x = np.linspace(0.001, 0.999, 500) # evitar exatamente 0 ou 1 por causa do log
Delta_s_per_mol = -R*(x*np.log(x) + (1-x)*np.log(1-x))
plt.figure(figsize=(6,4))
plt.plot(x, Delta_s_per_mol, lw=2)
plt.axvline(0.5, color='gray', linestyle='--', alpha=0.6)
plt.scatter([0.5],[R*np.log(2)], color='red')
plt.text(0.52, R*np.log(2)*0.9, r'\(\Delta \bar s_{\max}=R\ln 2\)', fontsize=10)
plt.xlabel('fração molar \(x_1\)')
plt.ylabel('entropia de mistura molar (J mol\(^{-1}\) K\(^{-1}\))')
plt.title('Entropia de mistura molar de uma mistura binária ideal')
plt.grid(True)
plt.show()
Esse código plota \Delta \bar{s}_{\text{mix}}(x) em J mol^{-1} K^{-1}, com pico em x=0{,}5.
Passo 7
Resumo final da dedução (como você deve escrever na prova):
\Delta \bar{s}_{\text{mix}}=-R\big(x\ln x + (1-x)\ln(1-x)\big),
com máximo \Delta \bar{s}_{\text{mix}}=R\ln 2 em x=\tfrac12.
Boa! Você agora tem a dedução detalhada, o comportamento da função e um código para plotar. Vai dar certo — respira e tenta reproduzir os passos na prova.