Deduza a equação de Clausius-Clapeyron a partir da terceira relação de Maxwell, dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede pra gente deduzir a equação de Clausius-Clapeyron usando a terceira relação de Maxwell, que é:
Isso tá relacionado à Termodinâmica, especialmente no estudo de como pressão, temperatura, e outras propriedades se relacionam durante transições de fase, tipo quando a água vira vapor. Vamos precisar entender um pouco sobre relações de Maxwell, entropia, e como elas se aplicam a mudanças de fase para chegar na famosa equação de Clausius-Clapeyron.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a terceira relação de Maxwell que foi dada:
Essa relação vem das derivadas parciais das funções de estado no equilíbrio termodinâmico. Ela nos diz como a pressão muda com a temperatura a volume constante é igual a como a entropia muda com o volume a temperatura constante.
Passo 3
Agora, vamos pensar em uma transição de fase, por exemplo, de líquido para vapor. Nessa transição, temos duas fases coexistindo em equilíbrio, então as propriedades como pressão e temperatura são as mesmas nas duas fases.
Durante essa transição, existe uma variação de entropia (
) e uma variação de volume (
) entre as duas fases.
Passo 4
A equação de Clapeyron relaciona a taxa de variação da pressão com a temperatura durante essa transição de fase. Queremos chegar em:
onde
é a variação de entropia e
a variação de volume entre as duas fases.
Passo 5
Vamos ligar isso com a terceira relação de Maxwell. Sabemos que:
Em condição de equilíbrio entre fases, quaisquer mudanças infinitesimais devem satisfazer essa igualdade. Ou seja, a maneira como a pressão muda com a temperatura a volume constante é igual à maneira como a entropia muda com o volume a temperatura constante.
Passo 6
Para uma transição de fase, integramos essa relação entre os dois estados (fase 1 e fase 2):
Isso é basicamente o que a equação de Clausius-Clapeyron nos diz. Ela relaciona a inclinação da curva de equilíbrio de fase no diagrama
com a variação de entropia e volume entre as fases.
Passo 7
Adicionalmente, podemos expressar a variação de entropia (
) em termos do calor latente (
) da transição:
Substituindo isso na equação, temos:
Essa é a forma mais comum da equação de Clausius-Clapeyron, que mostra como a pressão e a temperatura são relacionadas durante uma transição de fase.
Resposta
Derivamos a equação de Clausius-Clapeyron como:
onde
é o calor latente da transição e
é a variação de volume entre as duas fases.