Deduza a equação de Clausius-Clapeyron a partir da terceira relação de Maxwell, dada por:
(partial Ppartial T)V=(partial Spartial V)T

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede pra gente deduzir a equação de Clausius-Clapeyron usando a terceira relação de Maxwell, que é:
(partial Ppartial T)V=(partial Spartial V)T
Isso tá relacionado à Termodinâmica, especialmente no estudo de como pressão, temperatura, e outras propriedades se relacionam durante transições de fase, tipo quando a água vira vapor. Vamos precisar entender um pouco sobre relações de Maxwell, entropia, e como elas se aplicam a mudanças de fase para chegar na famosa equação de Clausius-Clapeyron.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a terceira relação de Maxwell que foi dada:
(partial Ppartial T)V=(partial Spartial V)T
Essa relação vem das derivadas parciais das funções de estado no equilíbrio termodinâmico. Ela nos diz como a pressão muda com a temperatura a volume constante é igual a como a entropia muda com o volume a temperatura constante.

Passo 3

Agora, vamos pensar em uma transição de fase, por exemplo, de líquido para vapor. Nessa transição, temos duas fases coexistindo em equilíbrio, então as propriedades como pressão e temperatura são as mesmas nas duas fases.
Durante essa transição, existe uma variação de entropia ( De) e uma variação de volume ( De) entre as duas fases.

Passo 4

A equação de Clapeyron relaciona a taxa de variação da pressão com a temperatura durante essa transição de fase. Queremos chegar em:
dPdT = De
onde De é a variação de entropia e De a variação de volume entre as duas fases.

Passo 5

Vamos ligar isso com a terceira relação de Maxwell. Sabemos que:
(partial Ppartial T)V = (partial Spartial V)T
Em condição de equilíbrio entre fases, quaisquer mudanças infinitesimais devem satisfazer essa igualdade. Ou seja, a maneira como a pressão muda com a temperatura a volume constante é igual à maneira como a entropia muda com o volume a temperatura constante.

Passo 6

Para uma transição de fase, integramos essa relação entre os dois estados (fase 1 e fase 2):
dPdT = De
Isso é basicamente o que a equação de Clausius-Clapeyron nos diz. Ela relaciona a inclinação da curva de equilíbrio de fase no diagrama P-T com a variação de entropia e volume entre as fases.

Passo 7

Adicionalmente, podemos expressar a variação de entropia ( De) em termos do calor latente ( L) da transição:
De
Substituindo isso na equação, temos:
dPdT = LT De
Essa é a forma mais comum da equação de Clausius-Clapeyron, que mostra como a pressão e a temperatura são relacionadas durante uma transição de fase.

Resposta

Derivamos a equação de Clausius-Clapeyron como:
dPdT = LT De
onde L é o calor latente da transição e De é a variação de volume entre as duas fases.

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