A partir das equações:
P V=N R T CV=N c
Válidas para um gás ideal, obtenha a relação fundamental na representação da energia livre de Helmholtz.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas equações válidas para um gás ideal:
P V = N R T e CV = N c
Aqui, $ P $ é a pressão, $ V $ o volume, $ N $ o número de moles, $ R $ a constante dos gases, $ T $ a temperatura, $ C_V $ a capacidade calorífica a volume constante e $ c $ uma constante relacionada à capacidade calorífica específica. O objetivo é usar essas equações para obter a relação fundamental na representação da energia livre de Helmholtz, que é uma função termodinâmica importante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a energia livre de Helmholtz. Ela é definida por:
F = U - T S
Onde $ F $ é a energia livre de Helmholtz, $ U $ a energia interna, $ T $ a temperatura e $ S $ a entropia. Essa função é útil para sistemas mantidos a temperatura e volume constantes.

Passo 3

Para encontrar a relação fundamental na representação de Helmholtz, precisamos expressar $ F $ em termos de $ T $ e $ V $. Começamos calculando a energia interna $ U $. Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura e é dada por:
F
Aqui usamos a equação $ C_V = N c $ fornecida no enunciado.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a entropia $ S $. Podemos usar a relação termodinâmica:
S
Sabemos que para um gás ideal:
( partial Spartial V )T = ( partial Ppartial T )V
Então,
P V = N R T Rightarrow P = N R TV
Integrando isso em relação a $ V $, obtemos:
( partial Ppartial T )V = N RV çã
Mas, para simplificar, consideramos apenas a parte dependente de $ V $:
V

Passo 5

Com $ U $ e $ S $ definidos, podemos agora calcular a energia livre de Helmholtz:
U
Ignorando a constante (pois ela não afeta as propriedades termodinâmicas), temos:
S

Passo 6

Para expressar a relação fundamental, reorganizamos os termos:
F(T, V) = N ( c T - R T ln V )
Isso mostra como a energia livre de Helmholtz depende da temperatura $ T $ e do volume $ V $ para um gás ideal.

Resposta

A relação fundamental na representação da energia livre de Helmholtz para um gás ideal é:
F(T, V) = N ( c T - R T ln V )

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