A partir das equações:
Válidas para um gás ideal, obtenha a relação fundamental na representação da energia livre de Helmholtz.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas equações válidas para um gás ideal:
Aqui, $ P $ é a pressão, $ V $ o volume, $ N $ o número de moles, $ R $ a constante dos gases, $ T $ a temperatura, $ C_V $ a capacidade calorífica a volume constante e $ c $ uma constante relacionada à capacidade calorífica específica. O objetivo é usar essas equações para obter a relação fundamental na representação da energia livre de Helmholtz, que é uma função termodinâmica importante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a energia livre de Helmholtz. Ela é definida por:
Onde $ F $ é a energia livre de Helmholtz, $ U $ a energia interna, $ T $ a temperatura e $ S $ a entropia. Essa função é útil para sistemas mantidos a temperatura e volume constantes.
Passo 3
Para encontrar a relação fundamental na representação de Helmholtz, precisamos expressar $ F $ em termos de $ T $ e $ V $. Começamos calculando a energia interna $ U $. Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura e é dada por:
Aqui usamos a equação $ C_V = N c $ fornecida no enunciado.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a entropia $ S $. Podemos usar a relação termodinâmica:
Sabemos que para um gás ideal:
Então,
Integrando isso em relação a $ V $, obtemos:
Mas, para simplificar, consideramos apenas a parte dependente de $ V $:
Passo 5
Com $ U $ e $ S $ definidos, podemos agora calcular a energia livre de Helmholtz:
Ignorando a constante (pois ela não afeta as propriedades termodinâmicas), temos:
Passo 6
Para expressar a relação fundamental, reorganizamos os termos:
Isso mostra como a energia livre de Helmholtz depende da temperatura $ T $ e do volume $ V $ para um gás ideal.
Resposta
A relação fundamental na representação da energia livre de Helmholtz para um gás ideal é: