Determine se a seguinte operação binária em
é comutativa e/ou associativa.
Passo 1
O enunciado define a operação binária
em
por
Queremos verificar dois pontos:
- Se
é comutativa, isto é, se vale sempre . - Se
é associativa, isto é, se vale sempre .
Passo 2
Para testar a comutatividade, comparamos
com
Em geral
(por exemplo, se
e
então
mas
). A igualdade só ocorre em casos degenerate como
,
ou
, não para todo par
. Portanto,
não é comutativa.
Passo 3
Para testar a associatividade, calculamos os dois lados de
:
Como
em geral (por exemplo, para
temos
mas
), não vale
para todo
. Assim,
não é associativa.
Resposta
A operação não é comutativa nem associativa.