Determine se a seguinte operação binária em R é comutativa e/ou associativa.
x * y=x^2 y

Passo 1

O enunciado define a operação binária * em R por
x * y = x^2y
Queremos verificar dois pontos:
  1. Se * é comutativa, isto é, se vale sempre x * y = y * x.
  2. Se * é associativa, isto é, se vale sempre (x * y) * z = x * (y * z).

Passo 2

Para testar a comutatividade, comparamos
x * y = x^2y
com
y * x = y^2x
Em geral x^2yneq y^2x (por exemplo, se x=2 e y=1 então x*y=4 mas y*x=2). A igualdade só ocorre em casos degenerate como x=0, y=0 ou x=y, não para todo par (x,y). Portanto, * não é comutativa.

Passo 3

Para testar a associatividade, calculamos os dois lados de (x*y)*z = x*(y*z):
(x*y)*z = (x^2y)^2,z = x^4y^2z,
x*(y*z) = x^2,(y^2z) = x^2y^2z
Como x^4y^2z neq x^2y^2z em geral (por exemplo, para x=2,y=1,z=1 temos (x*y)*z=16 mas x*(y*z)=4), não vale (x*y)*z = x*(y*z) para todo x,y,z. Assim, * não é associativa.

Resposta

A operação não é comutativa nem associativa.

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