Obtenha a equação da parábola de vértice V(2,-1), com eixo de simetria paralelo ao eixo dos y , passando pelo ponto \\mathrm{P}(-2,-3).

Passo 1

O enunciado pede: “Obtenha a equação da parábola de vértice V(2,-1), com eixo de simetria paralelo ao eixo dos y, passando pelo ponto P(-2,-3).”
Dados relevantes fornecidos:
\text{Vértice } V(2,-1),\qquad \text{eixo de simetria paralelo ao eixo dos } y,\qquad P(-2,-3)\text{ pertence à parábola.}éàá

Passo 2

Quando o eixo de simetria é paralelo ao eixo dos y, a parábola tem forma de “U” (abre para cima ou para baixo) e pode ser escrita na forma vértice (forma canônica)
y = a(x-h)^2 + k,
onde (h,k) é o vértice e a é um parâmetro que determina a abertura: se a>0 a parábola abre para cima, se a<0 abre para baixo; quanto mais próximo de zero for a, mais “larga” a parábola é. Aqui h é a coordenada x do vértice e k é a coordenada y do vértice.
Outra forma equivalente, útil para relacionar com a distância focal p, é
(x-h)^2 = 4p(y-k),
e a relação entre a e p é obtida reescrevendo: y-k = a(x-h)^2 implica (x-h)^2 = \dfrac{1}{a}(y-k). Comparando com (x-h)^2=4p(y-k) vem
4p=\frac{1}{a}\quad\Rightarrow\quad p=\frac{1}{4a}.

Passo 3

Substituímos o vértice (h,k)=(2,-1) na forma vértice.
y = a(x-2)^2 - 1.

Passo 4

Usamos o ponto P(-2,-3) que pertence à parábola para determinar a. Substituindo x=-2 e y=-3:
-3 = a(-2-2)^2 - 1.
Calcule passo a passo: -2-2 = -4 e (-4)^2 = 16. Assim
-3 = 16a - 1.
Somando 1 aos dois lados:
-2 = 16a.
Dividindo por 16:
a = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}.

Passo 5

Substituindo a=-\dfrac{1}{8} na forma vértice obtemos a equação final na forma vértice:
y = -\frac{1}{8}(x-2)^2 - 1.

Passo 6

Opcional — expandir para a forma polinomial (forma geral) fazendo as contas passo a passo. Primeiro expanda o quadrado:
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4.
Multiplicando por -\dfrac{1}{8}:
-\frac{1}{8}(x^2 - 4x + 4) = -\frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}.
Subtraindo 1 (isto é, somando -1):
y = -\frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}.

Passo 7

Comentário final e checagem rápida (pra te deixar mais confiante): como a=-\dfrac{1}{8}<0, a parábola abre para baixo (coerente com o vértice y=-1 e o ponto P(-2,-3) que está abaixo do vértice). Se quiser, dá pra calcular a distância focal p pela relação p=\dfrac{1}{4a}:
p=\frac{1}{4\left(-\tfrac{1}{8}\right)} = -2,
ou seja, foco em (2,-1+p)=(2,-3) — só uma observação extra, não pedida, mas útil para entender a geometria.

Resposta

y = -\dfrac{1}{8}(x-2)^2 - 1
y = -\dfrac{1}{8}x^2 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2}

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