(Mack - SP - adaptado) Das equações abaixo, a que apresenta uma parábola de eixo coincidente com a reta y=0 é:
a) y=x^{2}+1
b) x=y^{2}+1
c) y-x^{2}=0
d) x^{2}-y^{2}=1
e) x y=1+3 y

Passo 1

O problema pede: entre as alternativas dadas, qual equação representa uma parábola cujo eixo coincide com a reta y=0 (ou seja, o eixo da parábola é o eixo x, a linha horizontal y=0)?
As equações fornecidas são:

a) y=x^{2}+1
b) x=y^{2}+1
c) y-x^{2}=0
d) x^{2}-y^{2}=1
e) x y=1+3 y

Passo 2

Como vamos decidir: uma parábola pode ter eixo vertical (parábola “em pé”) ou eixo horizontal (parábola “deitada”). Vou usar a forma padrão de parábola em uma só variável para identificar a orientação do eixo e a posição do eixo. Isso é prático na prova porque basta escrever a equação na forma y = ax^{2}+bx+c (eixo vertical) ou x = ay^{2}+by+c (eixo horizontal) e calcular o valor do eixo com uma fórmula simples. Vou explicar essa fórmula agora, passo a passo, para você entender como aplicar em cada alternativa.
A fórmula e sua demonstração (mini-aula): se a parábola está na forma
y = a x^{2} + b x + c,
então podemos completar o quadrado para achar o vértice. Fazendo:
y = a\Big(x^{2} + \frac{b}{a}x\Big) + c = a\Big[\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^{2} - \Big(\frac{b}{2a}\Big)^{2}\Big] + c = a\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^{2} - \frac{b^{2}}{4a} + c.
Dessa forma, o vértice tem coordenada x = -\dfrac{b}{2a} e a reta vertical x = -\dfrac{b}{2a} é o eixo da parábola (porque o termo quadrático está em x). Analogamente, se a parábola estiver na forma
x = a y^{2} + b y + c,
o eixo é a reta horizontal
y = -\dfrac{b}{2a}.
Resumo prático: para y=ax^{2}+bx+c o eixo é vertical x=-\dfrac{b}{2a}; para x=ay^{2}+by+c o eixo é horizontal y=-\dfrac{b}{2a}. Para que o eixo coincida com y=0 precisamos de uma parábola com eixo horizontal e com -\dfrac{b}{2a}=0, ou seja b=0 na forma x=ay^{2}+by+c.

Passo 3

Analisando a alternativa (a): y=x^{2}+1. Esta está na forma y = a x^{2} + b x + c com a=1, b=0, c=1. Pelo item anterior, essa é uma parábola de eixo vertical com eixo x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{0}{2} = 0, ou seja eixo x=0. Portanto o eixo é a reta vertical x=0, não a reta y=0. Conclusão: (a) não serve.

Passo 4

Analisando a alternativa (b): x=y^{2}+1. Escrevendo como
x = 1\cdot y^{2} + 0\cdot y + 1,
vemos que está na forma x = a y^{2} + b y + c com a=1, b=0, c=1. Pelo argumento da forma padrão, o eixo é a reta horizontal
y = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{0}{2\cdot 1} = 0,
ou seja exatamente y=0. Além disso, esta é realmente uma parábola (abre para a direita, vértice em (1,0)). Conclusão: (b) é uma candidata correta.

Passo 5

Analisando a alternativa (c): y-x^{2}=0 equivale a y=x^{2}. É igual à (a) sem o termo constante; está na forma y = x^{2} com a=1, b=0. O eixo é vertical x=0. Logo não é y=0. Conclusão: (c) não serve.

Passo 6

Analisando a alternativa (d): x^{2}-y^{2}=1. Esta não é equação de parábola; é uma hipérbole. Um teste rápido: na forma geral quadrática A x^{2}+B x y + C y^{2} + \dots =0, o discriminante B^{2}-4AC indica o tipo: se B^{2}-4AC=0 é parábola, se >0 é hipérbole, se <0 é elipse. Aqui A=1, B=0, C=-1 então B^{2}-4AC = 0 - 4(1)(-1) = 4 > 0, hipérbole. Portanto (d) não é parábola.

Passo 7

Analisando a alternativa (e): x y = 1 + 3 y. Reorganizando,
xy - 3y = 1 \quad\Rightarrow\quad y(x-3)=1 \quad\Rightarrow\quad y = \dfrac{1}{x-3}.
Isto é uma função racional do tipo hipérbole retangular (assíntotas), não uma parábola. Portanto (e) também não é parábola.

Passo 8

Conclusão final do raciocínio: entre todas as alternativas, somente a (b) representa uma parábola com eixo horizontal e, especificamente, com eixo y=0.

Resposta

b)

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