(Mack - SP - adaptado) Das equações abaixo, a que apresenta uma parábola de eixo coincidente com a reta
é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O problema pede: entre as alternativas dadas, qual equação representa uma parábola cujo eixo coincide com a reta
(ou seja, o eixo da parábola é o eixo
, a linha horizontal
)?
As equações fornecidas são:
a)
b)
c)
d)
e)
As equações fornecidas são:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Como vamos decidir: uma parábola pode ter eixo vertical (parábola “em pé”) ou eixo horizontal (parábola “deitada”). Vou usar a forma padrão de parábola em uma só variável para identificar a orientação do eixo e a posição do eixo. Isso é prático na prova porque basta escrever a equação na forma
(eixo vertical) ou
(eixo horizontal) e calcular o valor do eixo com uma fórmula simples. Vou explicar essa fórmula agora, passo a passo, para você entender como aplicar em cada alternativa.
A fórmula e sua demonstração (mini-aula): se a parábola está na forma
então podemos completar o quadrado para achar o vértice. Fazendo:
Dessa forma, o vértice tem coordenada
e a reta vertical
é o eixo da parábola (porque o termo quadrático está em
). Analogamente, se a parábola estiver na forma
o eixo é a reta horizontal
Resumo prático: para
o eixo é vertical
; para
o eixo é horizontal
. Para que o eixo coincida com
precisamos de uma parábola com eixo horizontal e com
, ou seja
na forma
.
Passo 3
Analisando a alternativa (a):
. Esta está na forma
com
,
,
. Pelo item anterior, essa é uma parábola de eixo vertical com eixo
, ou seja eixo
. Portanto o eixo é a reta vertical
, não a reta
. Conclusão: (a) não serve.
Passo 4
Analisando a alternativa (b):
. Escrevendo como
vemos que está na forma
com
,
,
. Pelo argumento da forma padrão, o eixo é a reta horizontal
ou seja exatamente
. Além disso, esta é realmente uma parábola (abre para a direita, vértice em
). Conclusão: (b) é uma candidata correta.
Passo 5
Analisando a alternativa (c):
equivale a
. É igual à (a) sem o termo constante; está na forma
com
,
. O eixo é vertical
. Logo não é
. Conclusão: (c) não serve.
Passo 6
Analisando a alternativa (d):
. Esta não é equação de parábola; é uma hipérbole. Um teste rápido: na forma geral quadrática
, o discriminante
indica o tipo: se
é parábola, se
é hipérbole, se
é elipse. Aqui
,
,
então
, hipérbole. Portanto (d) não é parábola.
Passo 7
Analisando a alternativa (e):
. Reorganizando,
Isto é uma função racional do tipo hipérbole retangular (assíntotas), não uma parábola. Portanto (e) também não é parábola.
Passo 8
Conclusão final do raciocínio: entre todas as alternativas, somente a (b) representa uma parábola com eixo horizontal e, especificamente, com eixo
.
Resposta
b)