Demonstre as relações que nos dão a velocidade e a aceleração de uma partícula em coordenadas polares. Mostre como dessas relações se obtém a aceleração centrípeta.
Passo 1
O enunciado pede para achar as expressões da velocidade e aceleração de uma partícula em coordenadas polares e mostrar como surge a aceleração centrípeta. O conteúdo principal é cinemática vetorial, onde precisamos usar derivadas temporais de vetores e de versores em função de , pensamos em coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares, a posição é dada por
onde
e o versor
varia com o ângulo
. Precisamos das derivadas dos versores:
Passo 3
Aplicando a regra do produto para obter a velocidade:
Passo 4
Para achar a aceleração, derivamos
de novo usando produto e as derivadas dos versores:
Separando e usando as derivadas acima:
Passo 5
Somando os termos de mesma direção, a aceleração fica:
O termo radial $ -r\dot\theta^2$ é justamente a aceleração centrípeta, indo para dentro da curva.
Resposta
Velocidade:
.
Aceleração: .
A aceleração centrípeta é apontando no sentido
.
Aceleração:
A aceleração centrípeta é