Demonstre as relações que nos dão a velocidade e a aceleração de uma partícula em coordenadas polares. Mostre como dessas relações se obtém a aceleração centrípeta.

Passo 1

O enunciado pede para achar as expressões da velocidade e aceleração de uma partícula em coordenadas polares e mostrar como surge a aceleração centrípeta. O conteúdo principal é cinemática vetorial, onde precisamos usar derivadas temporais de vetores e de versores em função de , pensamos em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, a posição é dada por
vec r = r,hat r
onde r=r(t) e o versor hat r varia com o ângulo theta=theta(t). Precisamos das derivadas dos versores:
dhat rdt=dottheta,hattheta, dhatthetadt=-dottheta,hat r

Passo 3

Aplicando a regra do produto para obter a velocidade:
vec v=dvec rdt=dot r,hat r + rdhat rdt =dot r,hat r + rdottheta,hattheta

Passo 4

Para achar a aceleração, derivamos vec v de novo usando produto e as derivadas dos versores:
vec a=dvec vdt= racddt(dot r,hat r)+ddt(rdottheta,hattheta)
Separando e usando as derivadas acima:
ddt(dot r,hat r)=ddot r,hat r + dot r,dottheta,hattheta,
ddt(rdottheta,hattheta)=rddottheta,hattheta + rdottheta,(-dottheta,hat r)+dot r,dottheta,hattheta

Passo 5

Somando os termos de mesma direção, a aceleração fica:
vec a=(ddot r- rdottheta^2),hat r + (rddottheta + 2dot rdottheta),hattheta
O termo radial $ -r\dot\theta^2$ é justamente a aceleração centrípeta, indo para dentro da curva.

Resposta

Velocidade: vec v=dot r,hat r + rdottheta,hattheta.
Aceleração: vec a=(ddot r - rdottheta^2),hat r + (rddottheta+2dot rdottheta),hattheta.
A aceleração centrípeta é ac=rdottheta^2 apontando no sentido -hat r.

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