A posição de uma partícula é
r=2 sin omega t i+cos omega t j
a) Encontre a equação da trajetória. b) Encontre o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula como vec r(t)=2sin(omega t),vec i+cos(omega t),vec j. A matéria aqui é movimentos paramétricos e cinemática vetorial: primeiro vamos eliminar o parâmetro t para achar a trajetória (relação entre x e y), e depois vamos usar derivadas para achar a velocidade vec v, a aceleração vec a e o ângulo entre elas.

Passo 2

Da definição de vec r(t) temos as coordenadas paramétricas
x(t)=2sin(omega t),
y(t)=cos(omega t)
Para eliminar t usamos a identidade trigonométrica sin^2!u+cos^2!u=1. Dividindo x por 2 temos x/2=sin(omega t) e já temos y=cos(omega t). Logo

Passo 3

l(x2r)^2+y^2=sin^2(omega t)+cos^2(omega t)=1
Isso mostra que a trajetória é uma elipse de equação x^2/4+y^2=1.

Passo 4

Agora derivamos em relação a t para achar a velocidade:
vec v(t)=dvec rdt=2omegacos(omega t),vec i-omegasin(omega t),vec j
E derivamos novamente para obter a aceleração:
vec a(t)=dvec vdt=-2omega^2sin(omega t),vec i-omega^2cos(omega t),vec j

Passo 5

Para achar o ângulo theta entre vec v e vec a usamos
costheta=vec vcdotvec alvertvec vrvert,lvertvec arvert
O produto escalar é
vec vcdotvec a=(2omegacos(omega t))(-2omega^2sin(omega t))+(-omegasin(omega t))(-omega^2cos(omega t))=-3omega^3sin(omega t)cos(omega t)

Passo 6

Os módulos são
lvertvec vrvert=omegaraiz(2cos(omega t))^2+(sin(omega t))^2=omegaraiz4cos^2(omega t)+sin^2(omega t),
lvertvec arvert=omega^2raiz(2sin(omega t))^2+(cos(omega t))^2=omega^2raiz4sin^2(omega t)+cos^2(omega t)

Passo 7

Substituindo tudo em costheta obtemos
costheta=-3omega^3sin(omega t)cos(omega t)omega,omega^2raiz(4cos^2(omega t)+sin^2(omega t))(4sin^2(omega t)+cos^2(omega t)) =-3sin(omega t)cos(omega t)raiz(4cos^2(omega t)+sin^2(omega t))(4sin^2(omega t)+cos^2(omega t))
Daí o ângulo é
theta=arccosl(-3sin(omega t)cos(omega t)raiz(4cos^2(omega t)+sin^2(omega t))(4sin^2(omega t)+cos^2(omega t))r)

Resposta

a) A trajetória é a elipse de equação x^24+y^2=1. b) O ângulo entre velocidade e aceleração satisfaz
theta=arccosgl(-3sin(omega t),cos(omega t)raizl(4cos^2(omega t)+sin^2(omega t)r)l(4sin^2(omega t)+cos^2(omega t)r)gr)

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