A posição de uma partícula é
a) Encontre a equação da trajetória. b) Encontre o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula como
. A matéria aqui é movimentos paramétricos e cinemática vetorial: primeiro vamos eliminar o parâmetro
para achar a trajetória (relação entre
e
), e depois vamos usar derivadas para achar a velocidade
, a aceleração
e o ângulo entre elas.
Passo 2
Da definição de
temos as coordenadas paramétricas
Para eliminar
usamos a identidade trigonométrica
. Dividindo
por 2 temos
e já temos
. Logo
Passo 3
Isso mostra que a trajetória é uma elipse de equação
.
Passo 4
Agora derivamos em relação a
para achar a velocidade:
E derivamos novamente para obter a aceleração:
Passo 5
Para achar o ângulo
entre
e
usamos
O produto escalar é
Passo 6
Os módulos são
Passo 7
Substituindo tudo em
obtemos
Daí o ângulo é
Resposta
a) A trajetória é a elipse de equação
. b) O ângulo entre velocidade e aceleração satisfaz