Deduza uma expressão para o cálculo da distância aproximada entre duas franjas de interferência na experiência de Young.
Passo 1
O que o enunciado pede: deduzir uma expressão para a distância aproximada entre duas franjas de interferência na experiência de Young.
Informações e suposições que vamos usar (isso vem do enunciado implícito da experiência de Young):
- Existem duas fendas paralelas separadas por uma distância
. - A tela onde aparecem as franjas está a uma distância
das fendas, com (típica hipótese da experiência). - A luz tem comprimento de onda
. - Vamos chamar de
a coordenada vertical de uma franja na tela, medida a partir do ponto médio entre as fendas (o eixo central). - O objetivo é achar a distância entre duas franjas (por exemplo, duas franjas brilhantes adjacentes).
Passo 2
Entender a geometria e a origem das franjas: explique o que causa as franjas e como aparece a diferença de caminho.
Quando um ponto na tela, localizado a um ângulo
em relação ao eixo central, recebe luz das duas fendas, a diferença de caminho percorrido pelas ondas vindas das duas fendas é, em primeira aproximação geométrica,
Explicação didática: imagine as duas fendas separadas horizontalmente por
. A onda que vem da fenda mais distante percorre um caminho um pouco maior até um ponto inclinado
na tela; projetando a diferença de trajetórias perpendicularmente ao plano das fendas obtém-se aproximadamente
. Essa fórmula é padrão e válida sempre que o ponto estiver suficientemente longe (o que é garantido por
).
Passo 3
Condição de interferência construtiva (franjas brilhantes) e destrutiva (franjas escuras).
A interferência é construtiva (franja brilhante) quando a diferença de caminho é um múltiplo inteiro do comprimento de onda:
A interferência é destrutiva (franja escura) quando a diferença de caminho é um seminteiro do comprimento de onda:
Aqui
é a ordem da franja (o máximo central é
).
Passo 4
Relacionando
com a posição
na tela usando pequenas aproximações.
Na prática mede-se a posição
da franja na tela, e a relação trigonométrica exata entre
,
e
é
Para a experiência de Young tipicamente as franjas estão próximas ao eixo, então
é pequeno e valem as aproximações de pequeno ângulo:
Portanto, na aproximação de pequenas
podemos usar
.
Passo 5
Combinar a condição de interferência com a aproximação geométrica para obter a posição das franjas brilhantes.
Usando
e a condição construtiva
, obtemos
Substituindo
(onde
é a posição vertical da franja de ordem
):
Isolando
vem a posição da franja
:
Interpretação simples: as franjas brilhantes formam uma sequência quase linear de posições proporcionais a
.
Passo 6
Encontrar a distância entre duas franjas quaisquer e, em particular, entre franjas adjacentes.
A distância entre as franjas de ordens
e
é
Para franjas adjacentes tomamos
e
, daí a separação entre franjas brilhantes adjacentes (chamada de franja ou passo de interferência) é
Essa é a expressão aproximada mais usada experimentalmente.
Passo 7
Observações práticas e variações (o que muda se pedirem franjas escuras ou mais de uma ordem).
- Para franjas escuras adjacentes a separação entre a franja escura de ordem
e a de ordem também dá . Ou seja, tanto no conjunto de máximos quanto no de mínimos a distância entre vizinhos é a mesma. - Se quiser a posição da franja escura de índice
:
- A fórmula é aproximada: válida quando
e , de modo que .
Passo 8
Dica de prova e medição: como aplicar isso rápido na hora da prova ou no laboratório.
- Se na prova pedirem a separação média entre
franjas medidas entre dois pontos distantes, é comum medir a distância entre a franja de ordem e a de ordem e calcular
Isso reduz erro experimental.
- Sempre declare as hipóteses: pequena
e . Se essas hipóteses não se aplicarem, seria necessário usar relações trigonométricas sem aproximar por .
Passo 9
Exemplo numérico rápido para fixar (apliquei valores típicos só para ilustrar).
Tomando
,
e
:
Ou seja, franjas separadas de cerca de
, um valor intuitivo para visualizar.