Deduza uma expressão para o cálculo da distância aproximada entre duas franjas de interferência na experiência de Young.

Passo 1

O que o enunciado pede: deduzir uma expressão para a distância aproximada entre duas franjas de interferência na experiência de Young.
Informações e suposições que vamos usar (isso vem do enunciado implícito da experiência de Young):
  • Existem duas fendas paralelas separadas por uma distância \,d\,.
  • A tela onde aparecem as franjas está a uma distância \,D\, das fendas, com \,D\gg d\, (típica hipótese da experiência).
  • A luz tem comprimento de onda \,\lambda\,.
  • Vamos chamar de y a coordenada vertical de uma franja na tela, medida a partir do ponto médio entre as fendas (o eixo central).
  • O objetivo é achar a distância entre duas franjas (por exemplo, duas franjas brilhantes adjacentes).

Passo 2

Entender a geometria e a origem das franjas: explique o que causa as franjas e como aparece a diferença de caminho.
Quando um ponto na tela, localizado a um ângulo \theta em relação ao eixo central, recebe luz das duas fendas, a diferença de caminho percorrido pelas ondas vindas das duas fendas é, em primeira aproximação geométrica,
\delta = d\sin\theta.
Explicação didática: imagine as duas fendas separadas horizontalmente por \,d\,. A onda que vem da fenda mais distante percorre um caminho um pouco maior até um ponto inclinado \theta na tela; projetando a diferença de trajetórias perpendicularmente ao plano das fendas obtém-se aproximadamente d\sin\theta. Essa fórmula é padrão e válida sempre que o ponto estiver suficientemente longe (o que é garantido por \,D\gg d\,).

Passo 3

Condição de interferência construtiva (franjas brilhantes) e destrutiva (franjas escuras).
A interferência é construtiva (franja brilhante) quando a diferença de caminho é um múltiplo inteiro do comprimento de onda:
\delta = m\lambda,\qquad m=0,\pm1,\pm2,\dots
A interferência é destrutiva (franja escura) quando a diferença de caminho é um seminteiro do comprimento de onda:
\delta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,\qquad m=0,\pm1,\pm2,\dots
Aqui \,m\, é a ordem da franja (o máximo central é m=0).

Passo 4

Relacionando \sin\theta com a posição y na tela usando pequenas aproximações.
Na prática mede-se a posição y da franja na tela, e a relação trigonométrica exata entre \theta, y e D é
\tan\theta = \frac{y}{D}.
Para a experiência de Young tipicamente as franjas estão próximas ao eixo, então \theta é pequeno e valem as aproximações de pequeno ângulo:
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta \approx \frac{y}{D}.
Portanto, na aproximação de pequenas \theta podemos usar \sin\theta \approx \dfrac{y}{D}.

Passo 5

Combinar a condição de interferência com a aproximação geométrica para obter a posição das franjas brilhantes.
Usando \delta=d\sin\theta e a condição construtiva \delta=m\lambda, obtemos
d\sin\theta = m\lambda.
Substituindo \sin\theta \approx \dfrac{y_m}{D} (onde \,y_m\, é a posição vertical da franja de ordem m):
d\frac{y_m}{D} = m\lambda.
Isolando y_m vem a posição da franja m:
y_m = \frac{m\lambda D}{d}.
Interpretação simples: as franjas brilhantes formam uma sequência quase linear de posições proporcionais a m.

Passo 6

Encontrar a distância entre duas franjas quaisquer e, em particular, entre franjas adjacentes.
A distância entre as franjas de ordens m_1 e m_2 é
\Delta y = y_{m_2}-y_{m_1} = \frac{(m_2-m_1)\lambda D}{d}.
Para franjas adjacentes tomamos m_2=m+1 e m_1=m, daí a separação entre franjas brilhantes adjacentes (chamada de franja ou passo de interferência) é
\Delta y_{\text{adj}} = \frac{\lambda D}{d}.
Essa é a expressão aproximada mais usada experimentalmente.

Passo 7

Observações práticas e variações (o que muda se pedirem franjas escuras ou mais de uma ordem).
  • Para franjas escuras adjacentes a separação entre a franja escura de ordem m e a de ordem m+1 também dá \dfrac{\lambda D}{d}. Ou seja, tanto no conjunto de máximos quanto no de mínimos a distância entre vizinhos é a mesma.
  • Se quiser a posição da franja escura de índice m:
y_m^{\text{(escura)}}=\frac{(m+\tfrac{1}{2})\lambda D}{d}.
  • A fórmula é aproximada: válida quando \,D\gg d\, e \,y\ll D\,, de modo que \sin\theta\approx\tan\theta.

Passo 8

Dica de prova e medição: como aplicar isso rápido na hora da prova ou no laboratório.
  • Se na prova pedirem a separação média entre N franjas medidas entre dois pontos distantes, é comum medir a distância L_N entre a franja de ordem m e a de ordem m+N e calcular
\Delta y_{\text{média}}=\frac{L_N}{N}=\frac{N\lambda D/d}{N}=\frac{\lambda D}{d}.é
Isso reduz erro experimental.
  • Sempre declare as hipóteses: pequena \theta e D\gg d. Se essas hipóteses não se aplicarem, seria necessário usar relações trigonométricas sem aproximar \sin\theta por y/D.

Passo 9

Exemplo numérico rápido para fixar (apliquei valores típicos só para ilustrar).
Tomando \lambda=500\:\text{nm} = 5\cdot10^{-7}\:\text{m}, d=0{,}5\:\text{mm}=5\cdot10^{-4}\:\text{m} e D=2\:\text{m}:
\Delta y_{\text{adj}}=\frac{\lambda D}{d}=\frac{(5\cdot10^{-7})(2)}{5\cdot10^{-4}}=\frac{1\cdot10^{-6}}{5\cdot10^{-4}}=2\cdot10^{-3}\:\text{m}=2\:\text{mm}.
Ou seja, franjas separadas de cerca de 2\:\text{mm}, um valor intuitivo para visualizar.

Resposta

\displaystyle \Delta y_{\text{adj}}=\frac{\lambda D}{d}
\displaystyle \Delta y_{m_2-m_1}=\frac{(m_2-m_1)\lambda D}{d}

Exercícios relacionados