Considere as seguintes ondas: E_{1}=5 \sin (k x-\omega t) e E_{2}=5 \sin \left(k x-\omega t+120^{\circ}\right). Calcule: (a) A amplitude da onda resultante; (b) A diferença de fase entre a onda resultante e a onda E_{1}.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • São dadas duas ondas harmônicas com mesma frequência e mesmo número de onda:
    • E_{1}=5\sin\!\big(kx-\omega t\big).
    • E_{2}=5\sin\!\big(kx-\omega t+120^\circ\big).
  • Informações importantes extraídas do enunciado:
    • A amplitude de cada onda é A=5.
    • A diferença de fase entre as duas ondas é \varphi=120^\circ.
  • O enunciado pede:
    • (a) a amplitude da onda resultante E_{\text{res}}=E_1+E_2;
    • (b) a diferença de fase entre a onda resultante e a onda E_1.

Passo 2

Apresento a identidade trigonométrica que vou usar (é a ferramenta padrão para somar senos com a mesma frequência):
\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).
Explicando os símbolos:
  • \alpha e \beta são os argumentos das duas funções seno que estamos somando;
  • o lado direito mostra que a soma é um único seno com argumento \dfrac{\alpha+\beta}{2} multiplicado por um fator de amplitude 2\cos\!\big(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\big).
    Esta identidade é muito útil porque transforma a soma de dois senos em um único seno com amplitude e fase bem definidas.

Passo 3

Aplicando a identidade com \alpha=kx-\omega t e \beta=kx-\omega t+\varphi, onde \varphi=120^\circ:
E_1+E_2=5\sin\alpha+5\sin\beta=5\big(\sin\alpha+\sin\beta\big).
Usando a identidade:
E_{\text{res}}=5\cdot 2\sin\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).
Calcule os meios:
\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{(kx-\omega t)+(kx-\omega t+\varphi)}{2}=kx-\omega t+\frac{\varphi}{2},
\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{(kx-\omega t)-(kx-\omega t+\varphi)}{2}=-\frac{\varphi}{2}.
Como \cos é par, \cos\!\big(-\tfrac{\varphi}{2}\big)=\cos\!\big(\tfrac{\varphi}{2}\big). Assim
E_{\text{res}}=10\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\sin\!\left(kx-\omega t+\frac{\varphi}{2}\right).

Passo 4

Agora substituo o valor numérico \varphi=120^\circ. Então \dfrac{\varphi}{2}=60^\circ e
\cos\!\left(60^\circ\right)=\frac{1}{2}.
Logo a amplitude da onda resultante é
A_{\text{res}}=10\cos\!\left(60^\circ\right)=10\cdot\frac{1}{2}=5.
Portanto a amplitude resultante é 5.

Passo 5

A forma encontrada para a onda resultante é
E_{\text{res}}=5\sin\!\left(kx-\omega t+60^\circ\right).
Compare com E_1=5\sin\!\left(kx-\omega t\right). O argumento da onda resultante é o argumento de E_1 acrescido de 60^\circ. Isso significa que a onda resultante está adiantada (ou “antecipada”) em relação a E_1 por 60^\circ. Em linguagem comum: o pico da onda resultante ocorre 60^\circ antes (em fase) do que o pico de E_1.

Passo 6

Interpretação física e check rápido: duas fasores de mesmo comprimento 5 separados por 120^\circ somam-se formando um vetor resultante com comprimento 5 apontando no bissetor angular, isto é, 60^\circ adiante do primeiro fasor — confirma os resultados anteriores.

Resposta

(a) A_{\text{res}}=5
(b) A onda resultante está adiantada em relação a E_{1} por 60^\circ

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