Deduza a expressão para a densidade volumétrica de energia térmica no interior de uma cavidade cúbica e aresta de comprimento L, de paredes metálicas perfeitamente refletoras, que se encontra em equilíbrio térmico a uma temperatura T. A partir da mesma explique o significado do termo Catástrofe do Ultravioleta. Justifique detalhadamente as suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzirmos a expressão da densidade volumétrica de energia térmica dentro de uma cavidade cúbica com aresta de comprimento L, cujas paredes são metálicas e perfeitamente refletoras. A cavidade está em equilíbrio térmico a uma temperatura T. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física clássica, como a teoria das ondas e a distribuição de energia térmica. Depois, vamos explicar o que é a “Catástrofe do Ultravioleta”.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que dentro da cavidade, as ondas eletromagnéticas se comportam como ondas estacionárias devido às paredes refletoras. Isso significa que apenas certas frequências de onda podem existir dentro da cavidade. Essas frequências são chamadas de modos da cavidade.

Passo 3

Vamos determinar quais são esses modos de vibração. Num cubo de aresta L, as condições de contorno para as ondas estacionárias resultam em quantização das frequências. As frequências permitidas são dadas por:
nunx,ny,nz = c2L raiznx^2 + ny^2 + nz^2
onde nx, ny e nz são números inteiros positivos, e c é a velocidade da luz.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a densidade de modos, ou seja, quantos modos existem por unidade de frequência por unidade de volume. Para isso, usamos uma aproximação clássica onde as dimensões do cubo são grandes, permitindo tratar os modos como densamente espaçados.
A densidade de modos por unidade de frequência por volume é dada por:
g(nu) = 8pi nu^2c^3

Passo 5

Segundo a teoria clássica, cada modo de vibração pode armazenar energia térmica conforme o teorema de equipartição da energia, que diz que cada grau de liberdade tem uma energia média de 12kT, onde k é a constante de Boltzmann. No caso das ondas eletromagnéticas, cada modo tem duas polarizações, então a energia por modo é kT.

Passo 6

Multiplicando a densidade de modos pela energia por modo, obtemos a densidade volumétrica de energia térmica:
u(nu, T) = g(nu) cdot kT = 8pi nu^2 k Tc^3

Passo 7

Essa expressão é conhecida como a Lei de Rayleigh-Jeans. Ela nos dá a distribuição da energia térmica em função da frequência para um corpo negro segundo a física clássica.

Passo 8

Agora, vamos entender a “Catástrofe do Ultravioleta”. Observando a expressão da Lei de Rayleigh-Jeans, vemos que conforme a frequência nu aumenta, a densidade de energia u(nu, T) cresce proporcionalmente a nu^2. Isso implica que, para frequências muito altas (no ultravioleta e além), a energia tende ao infinito, o que é fisicamente impossível.

Passo 9

Essa previsão de energia infinita em altas frequências é o que chamamos de “Catástrofe do Ultravioleta”. Ela mostrou que a física clássica não conseguia explicar corretamente a radiação de corpos negros, levando ao desenvolvimento da teoria quântica por Planck, que resolve esse problema ao considerar a quantização da energia.

Resposta

A densidade volumétrica de energia térmica na cavidade cúbica é dada por:
u(nu, T) = 8pi nu^2 k Tc^3
A “Catástrofe do Ultravioleta” refere-se ao fato de que, segundo essa expressão clássica, a energia total irradiada por um corpo negro diverge para o infinito à medida que a frequência nu aumenta, especialmente nas regiões ultravioleta do espectro. Isso mostra a limitação da física clássica e a necessidade da teoria quântica para descrever corretamente a radiação de corpos negros.

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