(a) Deduza uma expressão para o módulo do campo elétrico em função da distância
ao centro para as regiões
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para deduzirmos uma expressão para o módulo do campo elétrico em função da distância $ r $ ao centro, considerando três regiões diferentes: $ r < a $, $ a < r < b $ e $ r > b $.
Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações com simetria. A gente vai precisar lembrar que a Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que diz:
Aqui, $ \vec{E} $ é o campo elétrico, $ d\vec{A} $ é um elemento de área da superfície fechada, $ Q_{int} $ é a carga total dentro da superfície, e $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Vamos aplicar essa lei para cada uma das três regiões mencionadas.
Passo 3
Região 1: $ r < a $
Nessa região, estamos dentro de uma esfera de raio $ a $. Supondo que a carga está distribuída de alguma forma dentro dessa esfera, vamos considerar que a carga $ Q_{int} $ dentro da superfície gaussiana de raio $ r $ depende de como a carga está distribuída.
Se a densidade de carga for uniforme, por exemplo, a carga interna seria proporcional ao volume dentro de $ r < a $:
Onde $ Q $ é a carga total dentro de $ r = a $.
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E $:
Passo 4
Região 2: $ a < r < b $
Agora, estamos na região entre $ a $ e $ b $. Aqui, a carga interna $ Q_{int} $ é simplesmente a carga total $ Q $ dentro de $ r = a $, porque além de $ a $, não tem mais carga até $ b $.
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E $:
Passo 5
Região 3: $ r > b $
Finalmente, para $ r > b $, estamos fora de toda a distribuição de carga. Se não há carga adicional além de $ Q $ dentro de $ r = a $ e nenhuma carga na região $ a < r < b $, então a carga total dentro da superfície gaussiana permanece $ Q $.
Portanto, a expressão para o campo elétrico é a mesma da região anterior:
Resposta
O módulo do campo elétrico $ E $ em função da distância $ r $ ao centro é dado por: