(a) Seja a aceleração da gravidade produzida por uma massa puntiforme m na origem, de modo que g=-(Gm / r^2). Considere uma superfície gaussiana esférica com raio r, centralizada sobre essa massa puntiforme, e demonstre que o fluxo de g através dessa superfície é dado por:
oint g cdot d A=-4 pi G m

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para demonstrar que o fluxo do campo gravitacional através de uma superfície gaussiana esférica centrada em uma massa puntiforme é igual a . Isso está dentro do conteúdo de Lei de Gauss para a Gravitação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo de um campo vetorial e como aplicar a Lei de Gauss nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma superfície gaussiana é uma superfície imaginária usada para aplicar a Lei de Gauss. No nosso caso, a superfície é uma esfera de raio g = -Gmr^2 r centrada na massa . O campo gravitacional gerado por essa massa puntiforme é dado por:
Aqui, é a constante gravitacional, é a massa, é a distância do ponto na superfície esférica ao centro da massa, e é o vetor unitário na direção radial.

Passo 3

Agora, o fluxo Phi = oint g cdot dA de um campo vetorial através de uma superfície fechada é definido por:
Onde é o vetor área infinitesimal na superfície, que aponta para fora da superfície.

Passo 4

Vamos calcular esse fluxo para a nossa esfera:
  1. Como o campo gravitacional Phi = oint g cdot dA = g cdot oint dA = -Gmr^2 cdot 4pi r^2 = -4pi G m é radial e a superfície é esférica, e estão sempre na mesma direção ou em direções opostas. No nosso caso, como aponta para dentro da massa, e aponta para fora, o produto escalar será negativo.
  2. A magnitude do campo gravitacional na superfície é .
  3. A área total da superfície esférica é .
Então, o fluxo fica:

Resposta

O fluxo do campo gravitacional oint g cdot dA = -4pi G m através da superfície gaussiana esférica é:

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