(a) Seja a aceleração da gravidade produzida por uma massa puntiforme m na origem, de modo que
. Considere uma superfície gaussiana esférica com raio r, centralizada sobre essa massa puntiforme, e demonstre que o fluxo de g através dessa superfície é dado por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para demonstrar que o fluxo do campo gravitacional
através de uma superfície gaussiana esférica centrada em uma massa puntiforme
é igual a
. Isso está dentro do conteúdo de Lei de Gauss para a Gravitação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo de um campo vetorial e como aplicar a Lei de Gauss nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma superfície gaussiana é uma superfície imaginária usada para aplicar a Lei de Gauss. No nosso caso, a superfície é uma esfera de raio
centrada na massa
. O campo gravitacional gerado por essa massa puntiforme é dado por:
Aqui,
é a constante gravitacional,
é a massa,
é a distância do ponto na superfície esférica ao centro da massa, e
é o vetor unitário na direção radial.
Passo 3
Agora, o fluxo
de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é definido por:
Onde
é o vetor área infinitesimal na superfície, que aponta para fora da superfície.
Passo 4
Vamos calcular esse fluxo para a nossa esfera:
-
Como o campo gravitacional
é radial e a superfície é esférica, e estão sempre na mesma direção ou em direções opostas. No nosso caso, como aponta para dentro da massa, e aponta para fora, o produto escalar será negativo. -
A magnitude do campo gravitacional na superfície é
. -
A área total da superfície esférica é
.
Então, o fluxo fica:
Resposta
O fluxo do campo gravitacional
através da superfície gaussiana esférica é: