Deduza uma fórmula para cada uma das expressões abaixo e calcule o valor da soma dos 50 primeiros termos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para deduzir uma fórmula para a soma $ S_n = \sum_{i=1}^{n} i(i+2) $ e calcular o valor da soma dos primeiros 50 termos. Vamos trabalhar com somas de termos que envolvem $ i^2 $ e $ i $, que são conceitos de álgebra básica e séries. Precisaremos usar fórmulas para somar termos lineares e quadráticos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Temos $ i(i+2) $, que podemos expandir:
Então, a soma fica:
Passo 3
Agora, vamos separar a soma em duas partes:
Isso é possível porque a soma de duas expressões pode ser dividida em duas somas separadas.
Passo 4
Precisamos lembrar das fórmulas para somar os primeiros $ n $ números inteiros e os primeiros $ n $ quadrados. As fórmulas são:
- Soma dos primeiros $ n $ inteiros:
- Soma dos primeiros $ n $ quadrados:
Passo 5
Vamos substituir essas fórmulas na nossa expressão para $ S_n $:
Passo 6
Simplificando a segunda parte da soma:
Então, agora temos:
Passo 7
Vamos colocar as duas frações com denominador comum para somar:
Simplificando o numerador:
Então:
Essa é a fórmula geral para a soma dos primeiros $ n $ termos da série $ i(i + 2) $.
Passo 8
Agora, vamos calcular $ S_{50} $ usando a fórmula que encontramos:
Calculando passo a passo:
- $ 50 + 1 = 51 $
- $ 2 \cdot 50 + 7 = 107 $
Então:
Passo 9
Vamos multiplicar os números:
Agora, dividimos por 6:
Resposta
A soma dos 50 primeiros termos é $ S_{50} = 42,!975 $.