Deduza uma fórmula para cada uma das expressões abaixo e calcule o valor da soma dos 50 primeiros termos.
Sn=sumi=1^n i(i+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para deduzir uma fórmula para a soma $ S_n = \sum_{i=1}^{n} i(i+2) $ e calcular o valor da soma dos primeiros 50 termos. Vamos trabalhar com somas de termos que envolvem $ i^2 $ e $ i $, que são conceitos de álgebra básica e séries. Precisaremos usar fórmulas para somar termos lineares e quadráticos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Temos $ i(i+2) $, que podemos expandir:
i(i+2)
Então, a soma fica:
i(i + 2) = i^2 + 2i

Passo 3

Agora, vamos separar a soma em duas partes:
Sn = sumi=1^n i^2 + 2sumi=1^n i
Isso é possível porque a soma de duas expressões pode ser dividida em duas somas separadas.

Passo 4

Precisamos lembrar das fórmulas para somar os primeiros $ n $ números inteiros e os primeiros $ n $ quadrados. As fórmulas são:
  1. Soma dos primeiros $ n $ inteiros:
n
  1. Soma dos primeiros $ n $ quadrados:
n

Passo 5

Vamos substituir essas fórmulas na nossa expressão para $ S_n $:
Sn

Passo 6

Simplificando a segunda parte da soma:
2 cdot n(n + 1)2 = n(n + 1)
Então, agora temos:
Sn = n(n + 1)(2n + 1)6 + n(n + 1)

Passo 7

Vamos colocar as duas frações com denominador comum para somar:
Sn = n(n + 1)(2n + 1)6 + 6n(n + 1)6 = n(n + 1)(2n + 1 + 6)6
Simplificando o numerador:
2n + 1 + 6 = 2n + 7
Então:
Sn = n(n + 1)(2n + 7)6
Essa é a fórmula geral para a soma dos primeiros $ n $ termos da série $ i(i + 2) $.

Passo 8

Agora, vamos calcular $ S_{50} $ usando a fórmula que encontramos:
S50
Calculando passo a passo:
  1. $ 50 + 1 = 51 $
  2. $ 2 \cdot 50 + 7 = 107 $
Então:
S50 = 50(50 + 1)(2 cdot 50 + 7)6

Passo 9

Vamos multiplicar os números:
50 cdot 51 = 2550
2550 cdot 107 = 257850
Agora, dividimos por 6:
2578506 = 42975

Resposta

A soma dos 50 primeiros termos é $ S_{50} = 42,!975 $.

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