Seja f: R R uma função diferenciável. Se F(x)=f(e^x) e G(x)=e^f(x), calcule F^prime(x) e G^prime(x).

Passo 1

O enunciado: temos uma função diferenciável f: Rto R e definimos F(x)=f(e^x) e G(x)=e^f(x). O objetivo é encontrar F'(x) e G'(x) usando regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular F'(x), note que F(x)=f(u) com u=e^x. Pela regra da cadeia, F'(x)=f'(u)cdot u'. Como u'=ddxe^x=e^x, temos

Passo 3

Para calcular G'(x), observe que G(x)=e^v com v=f(x). Novamente, pela regra da cadeia, G'(x)=e^vcdot v'. Como v'=f'(x), concluímos

Resposta

F'(x)=f'(e^x),e^x e G'(x)=e^f(x),f'(x).

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