Deduza a fórmula para o cálculo dos mínimos da difração em um orifício circular com diâmetro d (ou nas bordas de uma lente com diâmetro d ), quando o meio onde a luz se propaga possui índice de refração n.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos (clareza total).
Pede-se deduzir a fórmula que dá os ângulos dos mínimos de difração (anéis escuros do padrão de Airy) gerados por um orifício circular de diâmetro \,d (ou pela borda de uma lente de diâmetro \,d,) quando a luz propaga num meio com índice de refração \,n.
Informações relevantes que usaremos:
o diâmetro do orifício (ou lente) é \,d (logo o raio é \,a=\dfrac{d}{2});
a luz tem comprimento de onda no vácuo \,\lambda_0. No meio com índice \,n o comprimento de onda é \,\lambda=\dfrac{\lambda_0}{n} (explicarei isso adiante);
consideraremos a condição de Fraunhofer (campo distante / plano de focalização de uma lente) — isto é, observador suficientemente longe para aplicar aproximação de ondas planas;
queremos a relação que dá os ângulos \theta_m (m-ésimo mínimo), ou sua aproximação para pequenos \theta.
Não há valores numéricos fornecidos além de d e n; a resposta deve ficar em termos de \lambda_0, n, d e das raízes apropriadas de funções especiais.
Passo 2
Ideia física e aproximações: Fraunhofer e comprimento de onda no meio.
Fraunhofer: no regime de difração de Fraunhofer (far-field) a amplitude complexa no ponto de observação é dada pela transformada de Fourier da abertura. Para um orifício circular com simetria radial essa transformada leva a integrais envolvendo funções de Bessel.
Comprimento de onda no meio: a frequência da luz \,f não muda quando se entra num meio, mas a velocidade cai para v=c/n, então o comprimento de onda no meio é\lambda=\frac{v}{f}=\frac{c/n}{f}=\frac{1}{n}\frac{c}{f}=\frac{\lambda_0}{n},onde \lambda_0 é o comprimento de onda no vácuo. É importante usar \lambda (no meio) ao montar a integral de difração; eu indicarei ambos quando for útil.
Passo 3
Montagem da integral de amplitude para o orifício circular.
Considere um ponto de observação a um ângulo \theta em relação ao eixo do orifício. No regime de Fraunhofer, a contribuição de um elemento de área dS do orifício acumula uma fase proporcional a k \mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{s}}, onde k é o número de onda no meio e \hat{\mathbf{s}} é a direção de observação.
Definições:
raio do orifício: \,a=\dfrac{d}{2};
número de onda no meio: \,k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi n}{\lambda_0};
coordenadas polares na abertura: \rho\in[0,a], \varphi\in[0,2\pi).
A amplitude difratada U(\theta) (proporcional à luz observada) é, apartir da transformada de Fourier bidimensional,U(\theta)\propto \iint_{\text{aperture}} e^{i k \rho \sin\theta \cos\varphi}\,dSonde \rho\sin\theta\cos\varphi vem do produto escalar entre a posição na abertura e a direção de observação (para pequenas aberturas e far-field essa forma é válida).
Passo 4
Trocar para coordenadas polares e integrar sobre o ângulo \varphi.
Em polares dS=\rho\,d\rho\,d\varphi. A integral ficaU(\theta)\propto \int_{0}^{a}\!\int_{0}^{2\pi} e^{i k \rho \sin\theta \cos\varphi}\,\rho\,d\varphi\,d\rho.
Usamos a identidade conhecida (expansão de Fourier de uma exponencial com coseno) que dá a ligação com funções de Bessel:\int_{0}^{2\pi} e^{i z \cos\varphi}\,d\varphi = 2\pi J_0(z),onde J_0 é a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero, e z é aqui z=k\rho\sin\theta.
Fazer a integral radial usando identidade envolvendo J_0 e J_1.
Existe a identidade integral (fácil de consultar ou derivar via integrais de Bessel):\int_{0}^{a} \rho\,J_0(\alpha \rho)\,d\rho = \frac{a}{\alpha} J_1(\alpha a),válida para \alpha\neq 0. Aqui \alpha=k\sin\theta.
Aplicando essa identidade em U(\theta) obtemos (ignoro constantes multiplicativas que não afetam posições dos mínimos):U(\theta)\propto \frac{J_1\big(k a \sin\theta\big)}{k\sin\theta}.
É comum reescrever usando a variável adimensionalx \equiv k a \sin\theta.Então a amplitude segue a formaU(\theta)\propto \frac{J_1(x)}{x}.
Passo 6
Intensidade e condição para mínimos.
A intensidade observada é proporcional ao quadrado do módulo da amplitude:I(\theta)\propto \left|\frac{J_1(x)}{x}\right|^2.
Os mínimos (anéis escuros) ocorrem quando J_1(x)=0 (excluindo x=0, que é o máximo central). Denotando por \alpha_m a m-ésima raiz positiva de J_1, temosx_m = \alpha_m,\qquad m=1,2,3,\dotsValores numéricos das primeiras raízes: \alpha_1\approx 3{,}8317, \alpha_2\approx 7{,}0156, \alpha_3\approx 10{,}1735, etc.
Passo 7
Expressar a condição dos mínimos em termos de \theta_m, \lambda_0, n e d.
Lembrando x_m=k a \sin\theta_m=\alpha_m e k=2\pi n/\lambda_0, a=d/2, obtemosk a \sin\theta_m = \alpha_m
Isolando \sin\theta_m:\sin\theta_m = \frac{\alpha_m \lambda_0}{\pi n d}.
Para pequenos ângulos (\theta_m pequeno) costuma-se usar a aproximação \sin\theta_m\approx\theta_m (em radianos), portanto\theta_m \approx \frac{\alpha_m \lambda_0}{\pi n d}.
Em particular para o primeiro mínimo (m=1, \alpha_1\approx 3{,}8317):\sin\theta_1 = \frac{3{,}8317\,\lambda_0}{\pi n d}\approx 1{,}22\,\frac{\lambda_0}{n d},e, usando a aproximação angular pequena,\theta_1 \approx 1{,}22\,\frac{\lambda_0}{n d}.
Passo 8
Interpretação final e observações práticas.
A presença do índice de refração n no denominador mostra que, para o mesmo diâmetro d e mesmo comprimento de onda no vácuo \lambda_0, a difração é mais “apertada” dentro de um meio de maior índice: o padrão angular encolhe porque a onda tem comprimento menor no meio (\lambda=\lambda_0/n).
A dedução acima assume condição de Fraunhofer (campo distante ou uso de lente que transforma planos de onda em planos) e abertura circular perfeita; na prática lentes e orifícios bem comportados seguem essa fórmula com boa precisão.
Resumindo: os mínimos correspondem às raízes de J_1, levando à expressão direta para \sin\theta_m em termos de \alpha_m, \lambda_0, n e d.
Resposta
\displaystyle \sin\theta_m = \frac{\alpha_m\,\lambda_0}{\pi\,n\,d},\quad m=1,2,\dots\newline
onde \alpha_m é a m-ésima raiz positiva de J_1 (por exemplo \alpha_1\approx 3{,}8317).\newline
Para pequenos ângulos: \displaystyle \theta_m\approx\frac{\alpha_m\,\lambda_0}{\pi\,n\,d}. \newline
Em particular o primeiro mínimo: \displaystyle \theta_1\approx 1{,}22\,\frac{\lambda_0}{n\,d}.