Em um dispositivo de fenda dupla existem exatamente 9 franjas no interior da envoltória central. Sendo b=20.000 \AA, obtenha o valor da distância d entre as fendas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
Há exatamente 9 franjas de interferência brilhantes dentro da envoltória central (ou seja, dentro do máximo central da difração de cada fenda).
A largura da fenda é b = 20\,000\\ \text{\AA}.
Pede-se a distância d entre as duas fendas.
Informações relevantes extraídas: o número de franjas dentro do máximo central é 9 e b está dado. Não foi fornecida a razão d/b nem o comprimento de onda \lambda; veremos que \lambda não é necessária para encontrar a relação entre d e b.
Passo 2
Relembrando (passo-a-passo, sem pular etapas) a condição para os mínimos da difração por uma única fenda:
A condição para os mínimos (ângulos \theta onde a intensidade do padrão de difração é zero) é
b\sin\theta = n\lambda,
onde n é um inteiro não nulo (n=\pm1,\pm2,\dots), b é a largura da fenda, \lambda é o comprimento de onda da luz e \theta é o ângulo medido a partir da direção central.
Explicação: essa fórmula vem da condição de cancelamento por diferença de caminho entre ondas emitidas de duas partes da fenda; o primeiro mínimo (à direita) corresponde a n=1, o primeiro mínimo à esquerda a n=-1.
Passo 3
Relembrando a condição para os máximos de interferência entre as duas fendas:
A condição para máximos de interferência (franjas brilhantes) é
d\sin\theta = m\lambda,
onde m é inteiro (m=0,\pm1,\pm2,\dots) e d é a separação entre as duas fendas.
Explicação: isso aparece porque as duas fendas atuam como duas fontes coerentes; para que haja máximo construtivo a diferença de caminho deve ser um múltiplo inteiro de \lambda.
Passo 4
Caracterizando quais máximos de interferência ficam dentro do máximo central de difração:
O máximo central de difração está entre os primeiros mínimos de difração à esquerda e à direita, cuja condição é b\sin\theta = \pm \lambda. Assim, para uma franja de interferência de ordem m estar dentro desse máximo central, seu ângulo \theta_m (que satisfaz d\sin\theta_m=m\lambda) deve obedecer
| \sin\theta_m | < \frac{\lambda}{b}.
Substituindo \sin\theta_m = \dfrac{m\lambda}{d} (da condição de interferência), obtemos a condição numérica para os índices m:
Explicação: o \lambda cancela, por isso o comprimento de onda não precisa ser conhecido.
Passo 5
Contagem de franjas a partir da desigualdade e aplicação ao caso 9 franjas:
Os valores possíveis de m que correspondem a máximos dentro do envelope central são inteiros com |m| < d/b. O conjunto desses m é simétrico em torno de zero: m=0,\pm1,\pm2,\dots,\pm K, onde K é o maior inteiro tal que K < d/b.
O número total de máximos brilhantes dentro do máximo central é então
N = 2K + 1.
O enunciado diz que N=9. Assim
2K+1 = 9 \quad\Rightarrow\quad K = 4.
A condição K=4 implica que os inteiros permitidos são m=0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4, e a desigualdade para d/b é
4 < \frac{d}{b} \le 5.
Explicação dessa faixa: o valor d/b deve ser maior que 4 (para admitir m=4) e, se d/b>5, o m=5 também seria admitido gerando mais franjas; se d/b=5 exatamente, o m=5 coincidiria com o mínimo de difração e portanto não é contado como franja brilhante — por isso o limite superior é \le 5.
Passo 6
Interpretação prática e escolha de um valor numérico:
Observação importante: a desigualdade \,4 < d/b \le 5 mostra que existe um intervalo de valores de d que produzem exatamente 9 franjas; portanto, com os dados fornecidos existe não uma única solução única, mas um intervalo de soluções.
Em exercícios de física é comum (e prático) escolher o valor mais simples e representativo da faixa, que é o caso limite d=5b. Esse caso corresponde a uma situação em que o quinto máximo de interferência coincide exatamente com o primeiro mínimo de difração (o que ainda deixa 9 franjas brilhantes dentro do máximo central). Vou usar essa escolha para dar um valor numérico simples e típico.
Assim tomo d = 5b.
Passo 7
Cálculo numérico de d com b=20\,000\\ \text{\AA}:
Primeiro calcular d em \text{\AA}:
d = 5b = 5\times 20\,000\\ \text{\AA} = 100\,000\\ \text{\AA}.
Converter \text{\AA} para metros: 1\\ \text{\AA} = 10^{-10}\\ \text{m}. Então
d = 100\,000\times 10^{-10}\\ \text{m} = 10^{-5}\\ \text{m}.
Converter para unidades mais usuais (micrômetros):