Seja
a distância focal da lente de uma lupa e
o comprimento de onda da luz. Obtenha uma expressão para a determinação da distância mínima entre dois pontos para que esses pontos possam ser separados pelo microscópio, em função do diâmetro
da lente.
Passo 1
O enunciado pede: obter uma expressão para a distância mínima entre dois pontos para que esses pontos possam ser separados pelo microscópio, em função do diâmetro
da lente.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é a distância focal da lente (um número dado); -
é o comprimento de onda da luz (um número dado); -
é o diâmetro da lente (é o parâmetro que a expressão deve conter).
Não há outros dados numéricos; a tarefa é expressar a resolução mínima em termos de, e .
Passo 2
Entender o princípio físico que limita a resolução: difração por uma abertura circular.
Quando luz passa por uma lente com abertura circular (diâmetro ), um ponto luminoso forma no plano focal um padrão chamado disco de Airy. A intensidade não fica concentrada num ponto perfeito: existe um máximo central e anéis concêntricos. Dois pontos serão distinguíveis se os seus máximos centrais estiverem suficientemente separados para que não se sobreponham demais. Uma regra prática (critério de Rayleigh) diz que a condição de separação mínima ocorre quando o máximo de um coincide com o primeiro mínimo do outro.
Quando luz passa por uma lente com abertura circular (diâmetro
Passo 3
Resultado conhecido (do padrão de difração de uma abertura circular): o ângulo (radiano) entre o eixo e o primeiro mínimo do disco de Airy satisfaz, para pequenas aberturas,
Breve justificativa do fator
: a intensidade do disco de Airy envolve a função de Bessel
; o primeiro zero de
ocorre em aproximadamente
. Com
e raio da abertura
, a condição do primeiro mínimo dá
. Para ângulos pequenos
, daí
Esse é o ângulo mínimo que a lente consegue distinguir.
Passo 4
Relacionar o ângulo de resolução com uma distância linear no plano focal.
Se dois raios de luz chegam com separação angular e são focalizados pela lente, a separação linear entre os máximos no plano focal é aproximadamente
Se dois raios de luz chegam com separação angular
Essa relação vale porque, para pequenas
, a projeção na distância focal é a distância arco linear aproximada
. Portanto, substituindo
obtemos a resolução linear mínima no plano focal:
Passo 5
Apresentar uma forma alternativa (opcional) com a abertura numérica.
O critério também é frequentemente escrito como
O critério também é frequentemente escrito como
onde
(n índice do meio,
semiamplitude do cone de luz). Para lente em ar (
) e para pequenos ângulos
, tem-se
. Substituindo:
que coincide com a expressão acima.
Passo 6
Interpretação prática e dica para prova: a expressão significa que quanto menor o comprimento de onda
e/ou quanto maior o diâmetro
da lente, melhor (menor) a resolução; aumentar
aumenta a separação no plano focal na mesma proporção. Na prova, basta lembrar do critério de Rayleigh
e multiplicar por
.