Seja f a distância focal da lente de uma lupa e \lambda o comprimento de onda da luz. Obtenha uma expressão para a determinação da distância mínima entre dois pontos para que esses pontos possam ser separados pelo microscópio, em função do diâmetro d da lente.

Passo 1

O enunciado pede: obter uma expressão para a distância mínima entre dois pontos para que esses pontos possam ser separados pelo microscópio, em função do diâmetro d da lente.
Informações dadas:
  • f é a distância focal da lente (um número dado);
  • \lambda é o comprimento de onda da luz (um número dado);
  • d é o diâmetro da lente (é o parâmetro que a expressão deve conter).
    Não há outros dados numéricos; a tarefa é expressar a resolução mínima em termos de f, \lambda e d.

Passo 2

Entender o princípio físico que limita a resolução: difração por uma abertura circular.
Quando luz passa por uma lente com abertura circular (diâmetro d), um ponto luminoso forma no plano focal um padrão chamado disco de Airy. A intensidade não fica concentrada num ponto perfeito: existe um máximo central e anéis concêntricos. Dois pontos serão distinguíveis se os seus máximos centrais estiverem suficientemente separados para que não se sobreponham demais. Uma regra prática (critério de Rayleigh) diz que a condição de separação mínima ocorre quando o máximo de um coincide com o primeiro mínimo do outro.

Passo 3

Resultado conhecido (do padrão de difração de uma abertura circular): o ângulo (radiano) entre o eixo e o primeiro mínimo do disco de Airy satisfaz, para pequenas aberturas,
\theta_{\min}\approx \frac{1{,}22\,\lambda}{d}.
Breve justificativa do fator 1{,}22: a intensidade do disco de Airy envolve a função de Bessel J_1; o primeiro zero de J_1 ocorre em aproximadamente 3{,}8317. Com k=\dfrac{2\pi}{\lambda} e raio da abertura a=\dfrac{d}{2}, a condição do primeiro mínimo dá k a \sin\theta \approx 3{,}8317. Para ângulos pequenos \sin\theta\approx\theta, daí
\theta \approx \frac{3{,}8317}{2\pi}\,\frac{\lambda}{a}=\frac{3{,}8317}{\pi}\,\frac{\lambda}{d}\approx\frac{1{,}22\,\lambda}{d}.
Esse é o ângulo mínimo que a lente consegue distinguir.

Passo 4

Relacionar o ângulo de resolução com uma distância linear no plano focal.
Se dois raios de luz chegam com separação angular \theta e são focalizados pela lente, a separação linear entre os máximos no plano focal é aproximadamente
s=f\,\theta.
Essa relação vale porque, para pequenas \theta, a projeção na distância focal é a distância arco linear aproximada f\theta. Portanto, substituindo \theta_{\min} obtemos a resolução linear mínima no plano focal:
s_{\min}=f\,\theta_{\min}\approx f\cdot\frac{1{,}22\,\lambda}{d}.

Passo 5

Apresentar uma forma alternativa (opcional) com a abertura numérica.
O critério também é frequentemente escrito como
s_{\min}\approx\frac{0{,}61\,\lambda}{\mathrm{NA}},
onde \mathrm{NA}=n\sin\alpha (n índice do meio, \alpha semiamplitude do cone de luz). Para lente em ar ( n\approx1) e para pequenos ângulos \sin\alpha\approx\alpha\approx\dfrac{d}{2f}, tem-se \mathrm{NA}\approx\dfrac{d}{2f}. Substituindo:
s_{\min}\approx\frac{0{,}61\,\lambda}{d/(2f)}= \frac{1{,}22\,\lambda f}{d},
que coincide com a expressão acima.

Passo 6

Interpretação prática e dica para prova: a expressão significa que quanto menor o comprimento de onda \lambda e/ou quanto maior o diâmetro d da lente, melhor (menor) a resolução; aumentar f aumenta a separação no plano focal na mesma proporção. Na prova, basta lembrar do critério de Rayleigh \theta\approx1{,}22\lambda/d e multiplicar por f.

Resposta

\displaystyle s_{\min}=\frac{1{,}22\,\lambda\,f}{d}

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