Deduza a regra de
de Simpson.
Passo 1
O enunciado pede para deduzir a regra de Simpson
, que é uma fórmula de Newton–Cotes fechada de grau 3 para aproximar a integral
Para isso, vamos interpolar
em quatro pontos uniformemente espaçados e integrar o polinômio de Lagrange resultante.
Passo 2
Escolhemos os nós
onde
O polinômio interpolador de Lagrange de grau 3 é
com
Passo 3
Para facilitar a integração, fazemos a mudança de variável
Então
onde
são os polinômios de base em
:
Passo 4
Calculamos os pesos integrando cada
de
a
:
Logo,
Passo 5
Voltando às abscissas originais
e lembrando que
, obtemos a regra de Simpson
:
Resposta
ou, equivalentemente,