Deduza a fórmula para o volume de uma esfera de raio
unidades por meio de um corte.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pela reta
.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
Passo 1
O exercício tem duas partes. Primeiro, vamos deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio
usando o método de cortes (discos). Em seguida, vamos calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada por
, pelo eixo
e pela reta
. As ferramentas envolvidas são integrais de área de discos e cascas cilíndricas.
Passo 2
Para a esfera, consideramos uma fatia de espessura
perpendicular ao eixo
. O raio dessa fatia é dado por
, então sua área é
O volume da esfera é a integral dessas áreas de
até
:
Passo 3
Agora basta calcular a integral:
Passo 4
Para o sólido gerado pela rotação da região limitada por
, pelo eixo
e por
em torno do eixo
, usamos o método das cascas cilíndricas. Cada casca, a uma abscissa
entre 0 e 1, tem raio
, altura
e espessura
. Assim, o volume é
Passo 5
Calculando essa integral:
Resposta
Volume da esfera:
. Volume do sólido de revolução:
.