Deduza a fórmula para o volume de uma esfera de raio r unidades por meio de um corte.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelo gráfico de y=3 x-x^3, pelo eixo x e pela reta x=1.

Passo 1

O exercício tem duas partes. Primeiro, vamos deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio r usando o método de cortes (discos). Em seguida, vamos calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada por y=3x - x^3, pelo eixo x e pela reta x=1. As ferramentas envolvidas são integrais de área de discos e cascas cilíndricas.

Passo 2

Para a esfera, consideramos uma fatia de espessura dx perpendicular ao eixo x. O raio dessa fatia é dado por y = raizr^2 - x^2, então sua área é
A(x) = pil(raizr^2 - x^2r)^2 = pil(r^2 - x^2r)
O volume da esfera é a integral dessas áreas de x=-r até x=r:
Vesfera = integral-r^r A(x),dx = pi integral-r^r (r^2 - x^2),dx

Passo 3

Agora basta calcular a integral:
pi integral-r^r (r^2 - x^2),dx = pi l[ r^2 x - x^33 r]-r^r = pi l[(r^3 - tfracr^33) - (-r^3 + tfracr^33)r] = 43pi r^3

Passo 4

Para o sólido gerado pela rotação da região limitada por y=3x - x^3, pelo eixo x e por x=1 em torno do eixo y, usamos o método das cascas cilíndricas. Cada casca, a uma abscissa x entre 0 e 1, tem raio x, altura y = 3x - x^3 e espessura dx. Assim, o volume é
Vcasca = 2pi integral0^1 xl(3x - x^3r),dx

Passo 5

Calculando essa integral:
2pi integral0^1 (3x^2 - x^4),dx = 2pi l[ x^3 - x^55 r]0^1 = 2pi l(1 - 15r) = 8pi5

Resposta

Volume da esfera: tfrac43pi r^3. Volume do sólido de revolução: tfrac8pi5.

Exercícios relacionados