Encontre o termo geral da sequência, começando com n=1, determine se a sequência converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
(raiz2-raiz3),(raiz3-raiz4),(raiz4-raiz5), ldots

Passo 1

O enunciado pede para achar o termo geral da sequência cuja primeira parcela é raiz2-raiz3 (para n=1), verificar se ela converge e, em caso afirmativo, determinar seu limite. Vamos usar conhecimento de sequências e limites de funções.

Passo 2

Observando os três primeiros termos: raiz2-raiz3, raiz3-raiz4, raiz4-raiz5, vemos que em cada passo estamos usando raízes de índices consecutivos. Logo, para n=1,2,3,dots o n-ésimo termo é
an=raizn+1-raizn+2

Passo 3

Para estudar o limite de an quando ntoinfty, racionalizamos a diferença:
an=raizn+1-raizn+2=(raizn+1-raizn+2)(raizn+1+raizn+2)raizn+1+raizn+2=(n+1)-(n+2)raizn+1+raizn+2=-1raizn+1+raizn+2

Passo 4

Como raizn+1+raizn+2toinfty quando ntoinfty, temos
an=-1raizn+1+raizn+2longrightarrow0

Passo 5

Portanto, a sequência converge e seu limite é zero.

Resposta

O termo geral é an=raizn+1-raizn+2. A sequência converge e limntoinftyan=0

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