Deduza a fórmula para o volume de uma esfera de raio r unidades por meio de um corte.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y=-3, da região limitada pelas parábolas y=x^2 e y=1+x-x^2.

Passo 1

A questão tem duas partes: deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio r usando corte por fatias e depois calcular o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta y=-3, a região limitada pelas parábolas y=x^2 e y=1+x-x^2. Vamos usar integração para volumes por discos (esfera) e por arruelas (região girada).

Passo 2

Para a esfera, consideramos fatias horizontais a uma altura y do centro. Cada fatia é um disco de raio raizr^2-y^2. A área do disco é
A(y)=pil(r^2 - y^2r)
O volume total é a integral dessas áreas de y=-r a y=r:
V=integral-r^rA(y),dy=integral-r^rpil(r^2-y^2r),dy

Passo 3

Agora basta calcular a integral:
V=piintegral-r^r(r^2-y^2),dy =pil[r^2y - tfracy^33r]-r^r
Avaliaremos nos limites:

Passo 4

Ao substituir, temos
V=pil[(r^2cdot r - tfracr^33) - (r^2cdot(-r) - tfrac(-r)^33)r] =pil[r^3-tfracr^33 + r^3-tfracr^33r] =picdottfrac4r^33 =tfrac43pi r^3

Passo 5

Para a rotação, primeiro identificamos a região: resolver x^2=1+x-x^2 2x^2 - x -1=0 com raízes x=-tfrac12 e x=1. Para cada x entre -tfrac12 e 1, a curva superior é ysup=1+x-x^2 e a inferior é yinf=x^2.

Passo 6

Girando em torno de y=-3, formam-se arruelas cuja raiz externa é
R(x)=ysup-(-3)=4 + x - x^2
e interna
r(x)=yinf-(-3)=x^2+3
O volume é
V=piintegral-1/2^1l[R(x)^2 - r(x)^2r]dx

Passo 7

Expandindo:
R(x)^2=(4+x-x^2)^2=x^4-2x^3-7x^2+8x+16,
r(x)^2=(x^2+3)^2=x^4+6x^2+9
Então
R^2-r^2=-2x^3 -13x^2 +8x +7

Passo 8

Agora integramos de x=-tfrac12 a 1:
V=piintegral-1/2^1(-2x^3 -13x^2 +8x +7)dx =pil[-tfrac12x^4 - tfrac133x^3 +4x^2 +7xr]-1/2^1
Avaliar nos limites dá tfrac26132, logo

Passo 9

Multiplicando por pi, o volume do sólido girado é
V=261pi32

Resposta

Volume da esfera: V=tfrac43pi r^3. Volume do sólido por rotação: V=tfrac261pi32.

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