Deduza a fórmula para o volume de uma esfera de raio
unidades por meio de um corte.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada pelas parábolas
.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
Passo 1
A questão tem duas partes: deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio
usando corte por fatias e depois calcular o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta
, a região limitada pelas parábolas
e
. Vamos usar integração para volumes por discos (esfera) e por arruelas (região girada).
Passo 2
Para a esfera, consideramos fatias horizontais a uma altura
do centro. Cada fatia é um disco de raio
. A área do disco é
O volume total é a integral dessas áreas de
a
:
Passo 3
Agora basta calcular a integral:
Avaliaremos nos limites:
Passo 4
Ao substituir, temos
Passo 5
Para a rotação, primeiro identificamos a região: resolver
dá
com raízes
e
. Para cada
entre
e
, a curva superior é
e a inferior é
.
Passo 6
Girando em torno de
, formam-se arruelas cuja raiz externa é
e interna
O volume é
Passo 7
Expandindo:
Então
Passo 8
Agora integramos de
a
:
Avaliar nos limites dá
, logo
Passo 9
Multiplicando por
, o volume do sólido girado é
Resposta
Volume da esfera:
. Volume do sólido por rotação:
.