Considere o circuito elétrico descrito pelo sistema de equações diferenciais abaixo, onde
é a variável que representa a corrente através do indutor, e
é a voltagem no capacitor:
Considere
farad e
henry.
(a) Encontre os autovalores da matriz do sistema
(b) Encontre os autovetores da matriz do sistema
(a) Encontre os autovalores da matriz do sistema
(b) Encontre os autovetores da matriz do sistema
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais que descreve um circuito elétrico com um indutor e um capacitor. Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores e os autovetores da matriz que representa esse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, determinantes, e autovalores/autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema e substituir os valores dos componentes dados no enunciado. A matriz inicial é:
Substituindo os valores:
- $ R_{1} = 1 $ ohm
- $ R_{2} = \frac{3}{5} $ ohm
- $ C = \frac{2}{3} $ farad
- $ L = 2 $ henry
Vamos calcular cada elemento da matriz:
- $ A_{11} = -\frac{R_{1}}{L} = -\frac{1}{2} = -0,5 $
- $ A_{12} = -\frac{1}{L} = -\frac{1}{2} = -0,5 $
- $ A_{21} = \frac{1}{C} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} = 1,5 $
- $ A_{22} = -\frac{1}{C R_{2}} = -\frac{1}{\frac{2}{3} \times \frac{3}{5}} = -\frac{1}{\frac{6}{15}} = -\frac{15}{6} = -2,5 $
Então, a matriz fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, precisamos resolver a equação característica que é dada por:
Onde $ \lambda $ representa os autovalores e $ I $ é a matriz identidade. Vamos montar a matriz $ A - \lambda I $:
A seguir, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir:
Então, a equação característica é:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores $ \lambda $. A equação é:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde:
- $ a = 1 $
- $ b = 3 $
- $ c = 2 $
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Agora, substituindo na fórmula:
Então:
- $ \lambda_1 = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $
- $ \lambda_2 = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos para a parte (b) e encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. A ideia é resolver a equação:
Onde $ v $ é o autovetor correspondente ao autovalor $ \lambda $.
Para $ \lambda_1 = -1 $:
Substituindo na matriz $ A - \lambda I $:
Temos o sistema:
Podemos simplificar a primeira equação:
Então, o autovetor pode ser escrito como:
Onde $ k $ é uma constante qualquer. Geralmente, escolhemos $ k = 1 $ para simplificar, então:
Para $ \lambda_2 = -2 $:
Substituindo na matriz $ A - \lambda I $:
Temos o sistema:
Simplificando a primeira equação:
Então, o autovetor pode ser escrito como:
Novamente, escolhemos $ k = 1 $ para simplificar:
Resposta
(a) Os autovalores da matriz do sistema são $ \lambda_1 = -1 $ e $ \lambda_2 = -2 $.
(b) Os autovetores correspondentes são $ v_1 =
$ para $ \lambda_1 = -1 $ e $ v_2 =
$ para $ \lambda_2 = -2 $.