Considere o circuito elétrico descrito pelo sistema de equações diferenciais abaixo, onde I é a variável que representa a corrente através do indutor, e V é a voltagem no capacitor:
dd tbinomIV=(cc -R1L & -1L 1C & -1C R2 )binomIV
Considere R1=1 ohm, R2=3 / 5 ohm, C=2 / 3 farad e L=2 henry.
(a) Encontre os autovalores da matriz do sistema
(b) Encontre os autovetores da matriz do sistema

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais que descreve um circuito elétrico com um indutor e um capacitor. Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores e os autovetores da matriz que representa esse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, determinantes, e autovalores/autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema e substituir os valores dos componentes dados no enunciado. A matriz inicial é:
A = -R1L & -1L 1C & -1C R2
Substituindo os valores:
  • $ R_{1} = 1 $ ohm
  • $ R_{2} = \frac{3}{5} $ ohm
  • $ C = \frac{2}{3} $ farad
  • $ L = 2 $ henry
Vamos calcular cada elemento da matriz:
  • $ A_{11} = -\frac{R_{1}}{L} = -\frac{1}{2} = -0,5 $
  • $ A_{12} = -\frac{1}{L} = -\frac{1}{2} = -0,5 $
  • $ A_{21} = \frac{1}{C} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} = 1,5 $
  • $ A_{22} = -\frac{1}{C R_{2}} = -\frac{1}{\frac{2}{3} \times \frac{3}{5}} = -\frac{1}{\frac{6}{15}} = -\frac{15}{6} = -2,5 $
Então, a matriz fica:
R1 = 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, precisamos resolver a equação característica que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Onde $ \lambda $ representa os autovalores e $ I $ é a matriz identidade. Vamos montar a matriz $ A - \lambda I $:
lambda
A seguir, calculamos o determinante dessa matriz:
I
Vamos expandir:
A - lambda I
A - lambda I = -0,5 - lambda & -0,5 1,5 & -2,5 - lambda
det(A - lambda I) = (-0,5 - lambda)(-2,5 - lambda) - (-0,5)(1,5)
= (0,5 + lambda)(2,5 + lambda) - (-0,75)
Então, a equação característica é:
= (0,5 times 2,5) + (0,5 times lambda) + (lambda times 2,5) + (lambda times lambda) + 0,75

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores $ \lambda $. A equação é:
lambda
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
lambda^2 + 3lambda + 2 = 0
Onde:
  • $ a = 1 $
  • $ b = 3 $
  • $ c = 2 $
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Agora, substituindo na fórmula:
a = 1
Então:
  1. $ \lambda_1 = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $
  2. $ \lambda_2 = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos para a parte (b) e encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. A ideia é resolver a equação:
(A - lambda I)v = 0
Onde $ v $ é o autovetor correspondente ao autovalor $ \lambda $.
Para $ \lambda_1 = -1 $:
Substituindo na matriz $ A - \lambda I $:
v
Temos o sistema:
lambda
Podemos simplificar a primeira equação:
lambda1 = -1
Então, o autovetor pode ser escrito como:
A - lambda I
Onde $ k $ é uma constante qualquer. Geralmente, escolhemos $ k = 1 $ para simplificar, então:
A - (-1)I = A + I = -0,5 + 1 & -0,5 1,5 & -2,5 + 1 = 0,5 & -0,5 1,5 & -1,5
Para $ \lambda_2 = -2 $:
Substituindo na matriz $ A - \lambda I $:
0,5v1 - 0,5v2 = 0 1,5v1 - 1,5v2 = 0
Temos o sistema:
v1 = v2
Simplificando a primeira equação:
v = 1 1 times k
Então, o autovetor pode ser escrito como:
k
Novamente, escolhemos $ k = 1 $ para simplificar:
k = 1

Resposta

(a) Os autovalores da matriz do sistema são $ \lambda_1 = -1 $ e $ \lambda_2 = -2 $.
(b) Os autovetores correspondentes são $ v_1 = lambda1 = -1 $ para $ \lambda_1 = -1 $ e $ v_2 = lambda2 = -2 $ para $ \lambda_2 = -2 $.

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