Deduza as Fórmulas 1, 2 e 3.
\mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+2 \cos t \mathbf{j}+\sin t \mathbf{k}, \quad t=0

Passo 1

O enunciado nos dá a curva espacial \mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+2\cos t\,\mathbf{j}+\sin t\,\mathbf{k}
e pede para deduzir as seguintes fórmulas no ponto t=0:
  1. o vetor tangente unitário \mathbf{T}(0),
  2. o vetor normal principal \mathbf{N}(0),
  3. o vetor binormal \mathbf{B}(0).
    O conteúdo aqui é a geometria de curvas: usamos definições de derivada de vetor, norma, vetor tangente unitário, vetor normal e produto vetorial.

Passo 2

Calculemos a derivada de \mathbf{r}(t):
\mathbf{r}'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(t,\;2\cos t,\;\sin t\bigr) =\bigl(1,\;-2\sin t,\;\cos t\bigr).

Passo 3

O vetor tangente unitário é
\mathbf{T}(t) =\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}.
Primeiro a norma:
\|\mathbf{r}'(t)\| =\sqrt{1^2+(-2\sin t)^2+(\cos t)^2} =\sqrt{1+4\sin^2 t+\cos^2 t} =\sqrt{1+4\sin^2 t+\cos^2 t}.
Em t=0 temos \sin0=0 e \cos0=1, logo
\|\mathbf{r}'(0)\|=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}.
Portanto
\mathbf{T}(0) =\frac{\mathbf{r}'(0)}{\sqrt{2}} =\frac{(1,\,0,\,1)}{\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\,\mathbf{i} +0\,\mathbf{j} +\frac{1}{\sqrt{2}}\,\mathbf{k}.

Passo 4

Para o vetor normal principal, usamos
\mathbf{N}(0) =\frac{\mathbf{T}'(0)}{\|\mathbf{T}'(0)\|}.
Como em t=0 a norma de \mathbf{r}'(t) já é constante até primeira ordem, pode-se notar que \mathbf{T}'(0) aponta na direção de \mathbf{r}''(0). Vamos então achar \mathbf{r}''(t):
\mathbf{r}''(t) =\frac{d}{dt}\bigl(1,\;-2\sin t,\;\cos t\bigr) =\bigl(0,\;-2\cos t,\;-\,\sin t\bigr).
Em t=0 isso dá
\mathbf{r}''(0)=(0,\,-2\cos0,\,-\sin0)=(0,\,-2,\;0).
A norma de \mathbf{r}''(0) vale \| (0,-2,0)\|=2. Então
\mathbf{N}(0) =\frac{\mathbf{r}''(0)}{\|\mathbf{r}''(0)\|} =\frac{(0,-2,0)}{2} =(0,\,-1,\,0) =-\mathbf{j}.

Passo 5

O vetor binormal é dado por
\mathbf{B}(0) =\mathbf{T}(0)\times\mathbf{N}(0).
Substituindo
\mathbf{T}(0)=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},0,\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr), \quad \mathbf{N}(0)=(0,-1,0),
o produto vetorial em componentes dá
\mathbf{B}(0) =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \tfrac1{\sqrt2}&0&\tfrac1{\sqrt2}\\\\ 0&-1&0 \end{vmatrix} =\Bigl(0\cdot0-{\tfrac1{\sqrt2}}\cdot(-1)\Bigr)\mathbf{i} -\Bigl(\tfrac1{\sqrt2}\cdot0- \tfrac1{\sqrt2}\cdot0\Bigr)\mathbf{j} +\Bigl(\tfrac1{\sqrt2}\cdot(-1)-0\cdot0\Bigr)\mathbf{k}
=\tfrac{1}{\sqrt2}\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}-\tfrac{1}{\sqrt2}\,\mathbf{k}.

Resposta

Fórmula 1: \displaystyle \mathbf{T}(0)=\frac{1}{\sqrt2}\,\mathbf{i}+\frac{1}{\sqrt2}\,\mathbf{k}.
Fórmula 2: \displaystyle \mathbf{N}(0)=-\mathbf{j}.
Fórmula 3: \displaystyle \mathbf{B}(0)=\frac{1}{\sqrt2}\,\mathbf{i}-\frac{1}{\sqrt2}\,\mathbf{k}.

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