Determine e faça o esboço do domínio da função.
f(x, y)=\sqrt{x y}

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar e esboçar o domínio da função de duas variáveis dada por f(x,y)=\sqrt{x y}. O conteúdo é domínio de funções reais de duas variáveis, lidando com a condição de existência de radicais.

Passo 2

Para que a expressão \sqrt{x y} seja real, o radicando deve ser não negativo. Portanto, deve valer
x\,y \ge 0.

Passo 3

A desigualdade x\,y \ge 0 só ocorre quando x e y têm o mesmo sinal ou um deles é zero. Assim, temos que ou x\ge 0 e y\ge 0, ou x\le 0 e y\le 0.

Passo 4

Logo, o domínio de f é a união do primeiro quadrante fechado (onde x\ge 0 e y\ge 0) com o terceiro quadrante fechado (onde x\le 0 e y\le 0), incluindo as bordas em que x=0 ou y=0.

Passo 5

Para esboçar esse domínio, no plano (x,y) desenhe os eixos x=0 e y=0 e sombree as regiões onde x e y são simultaneamente não negativos (primeiro quadrante, incluindo eixos) e simultaneamente não positivos (terceiro quadrante, incluindo eixos).

Resposta

D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\,y \ge 0\} = \{(x,y)\mid x\ge 0,\;y\ge 0\}\;\cup\;\{(x,y)\mid x\le 0,\;y\le 0\}.

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