Determine e faça o esboço do domínio da função.
f(x, y)=\sqrt{y-x \ln (y+x)}

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y)=\sqrt{\,y - x\ln(y+x)\,}\,.
O conteúdo aqui é funções reais de duas variáveis com domínio definido pela existência do logaritmo e pelo radicando não negativo. Para resolver precisamos:
  1. Garantir que y+x>0 (para \ln(y+x) existir).
  2. Exigir que
y - x\ln(y+x)\ge 0
(de modo que a raiz quadrada seja real).

Passo 2

Escrevemos explicitamente as duas condições de domínio:
  1. \ln(y+x) existe \Longrightarrow
y + x > 0.
  1. O radicando é não negativo \Longrightarrow
y - x\ln(y+x)\ge 0.
Assim
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y+x>0,\;y - x\ln(y+x)\ge0\bigr\}.

Passo 3

Para entender a forma da fronteira, analisamos a curva onde o radicando vale zero:
y - x\ln(y+x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y = x\ln(y+x).
Definimos s=y+x com s>0. Então y=s-x e a condição vira
s - x - x\ln s=0 \quad\Longleftrightarrow\quad s = x\bigl(1+\ln s\bigr) \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac{s}{1+\ln s}.
E daí
y = s - \frac{s}{1+\ln s} = \frac{s\,\ln s}{1+\ln s}.
Isto nos dá a parametrização da fronteira por s>0:
x(s)=\frac{s}{1+\ln s},\quad y(s)=\frac{s\,\ln s}{1+\ln s}.

Passo 4

Para determinar de que lado da curva fica o domínio, basta testar um ponto simples, por exemplo (0,1):
y+x=1>0,\quad y - x\ln(y+x)=1\ge0,
logo (0,1) pertence a D. Esse ponto está “acima” da curva y=x\ln(y+x). Concluímos que o domínio é a região do meio-plano y+x>0 que fica acima (ou sobre) da curva implicada por
y = x\ln(y+x).

Passo 5

No plano (x,y):
  • Trace primeiro a reta y=-x, o domínio está no lado onde y+x>0.
  • A seguir plote a curva paramétrica
\bigl(x(s),y(s)\bigr) =\Bigl(\tfrac{s}{1+\ln s},\;\tfrac{s\ln s}{1+\ln s}\Bigr), \;s>0,
que passa por (0,0), depois em (1,0), sobe suavemente e tende ao infinito para s\to\infty.
  • O domínio D é a região no meio-plano acima dessa curva.

Resposta

D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y+x>0,\;y \ge x\ln(y+x)\bigr\},
com esboço conforme descrito.

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