Deduza as Fórmulas 1, 2 e 3.
\mathbf{r}(t)=(\sqrt{t}, 1-t), \quad t=1

Passo 1

O enunciado dá a função vetor
\mathbf r(t)=\bigl(\sqrt{t},\,1-t\bigr)
e pede para deduzir três fórmulas clássicas de cálculo de curvas no instante t=1. O conteúdo usado será:
– Fórmula 1: vetor velocidade \mathbf r'(t).
– Fórmula 2: rapidez \|\mathbf r'(t)\|.
– Fórmula 3: versor tangente unitário \mathbf T(t)=\mathbf r'(t)/\|\mathbf r'(t)\|.

Passo 2

Calcular a derivada componente a componente. Como
\frac{d}{dt}\sqrt{t}=\frac{1}{2\sqrt{t}} \quad\text{e}\quad \frac{d}{dt}(1-t)=-1,
temos
\mathbf r'(t) =\bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{t}},\,-1\bigr).

Passo 3

A rapidez é a norma de \mathbf r'(t):
\|\mathbf r'(t)\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{t}}\Bigr)^{2}+(-1)^{2}} =\sqrt{\frac{1}{4t}+1}.

Passo 4

O versor tangente unitário é
\mathbf T(t) =\frac{\mathbf r'(t)}{\|\mathbf r'(t)\|} =\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4t}+1}} \bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{t}},\,-1\bigr).

Resposta

(a) Fórmula 1:
\mathbf r'(t)=\bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{t}},\,-1\bigr),
logo em t=1
\mathbf r'(1)=\bigl(\tfrac12,\,-1\bigr).
(b) Fórmula 2:
\|\mathbf r'(t)\|=\sqrt{\tfrac{1}{4t}+1},
logo em t=1
\|\mathbf r'(1)\|=\sqrt{\tfrac14+1}=\frac{\sqrt5}{2}.
(c) Fórmula 3:
\mathbf T(t) =\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4t}+1}} \bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{t}},\,-1\bigr),
logo em t=1
\mathbf T(1) =\frac{1}{\sqrt{\tfrac14+1}} \bigl(\tfrac12,\,-1\bigr) =\bigl(\tfrac{1}{\sqrt5},\,-\tfrac{2}{\sqrt5}\bigr).

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