Determine o comprimento da curva:
\mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, \sin t-t \cos t, \cos t+t \sin t\right), \quad 0 \leq t \leq \pi

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva \mathbf{r}(t)=\bigl(t^{2},\,\sin t - t\cos t,\,\cos t + t\sin t\bigr)
para 0\le t\le\pi.
Este é um exercício de comprimento de arco em \mathbb{R}^3, que envolve calcular \mathbf{r}'(t), depois \|\mathbf{r}'(t)\| e finalmente integrar esse módulo de t=0 a t=\pi.

Passo 2

Vamos obter a derivada \mathbf{r}'(t) componente a componente:
– A derivada de t^2 é 2t.
– A derivada de \sin t - t\cos t é
\frac{d}{dt}(\sin t) - \frac{d}{dt}(t\cos t) = \cos t - \bigl(\cos t - t\sin t\bigr) = t\sin t.
– A derivada de \cos t + t\sin t é
\frac{d}{dt}(\cos t) + \frac{d}{dt}(t\sin t) = -\sin t + \bigl(\sin t + t\cos t\bigr) = t\cos t.
Portanto,
\mathbf{r}'(t)=\bigl(2t,\;t\sin t,\;t\cos t\bigr).

Passo 3

Agora calculamos o módulo de \mathbf{r}'(t):
\|\mathbf{r}'(t)\| =\sqrt{(2t)^{2}+(t\sin t)^{2}+(t\cos t)^{2}} =\sqrt{4t^{2}+t^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)} =\sqrt{4t^{2}+t^{2}} =\sqrt{5t^{2}}.
Como t\ge0 no intervalo dado, \sqrt{5t^{2}}=\sqrt5\,t.

Passo 4

O comprimento de arco L é dado por
L = \int_{0}^{\pi}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt = \int_{0}^{\pi}\sqrt5\,t\,dt.

Passo 5

Basta calcular a integral:
L = \sqrt5\int_{0}^{\pi}t\,dt =\sqrt5\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{\pi} =\sqrt5\cdot\frac{\pi^{2}}{2} =\frac{\pi^{2}\sqrt5}{2}.

Resposta

\frac{\pi^{2}\sqrt5}{2}

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