Deduza as fórmulas de mudança de base da exponencial e do logarítmo:
Passo 1
O enunciado pede para deduzir duas fórmulas de mudança de base: uma para a função exponencial e outra para o logaritmo. Vamos usar propriedades de logaritmos e exponenciais e o fato de que podemos aplicar logaritmo em qualquer base a ambos os lados de uma igualdade.
Passo 2
Começamos pela exponencial. Seja
. Aplicando logaritmo de base
em ambos os lados, temos:
Pela propriedade
Agora isolamos
. Como
está dentro do logaritmo, reescrevemos em forma exponencial de base
:
Portanto, a fórmula de mudança de base para a exponencial é
Passo 3
Agora deduzimos a fórmula de mudança de base para o logaritmo. Seja
. Pela definição de logaritmo, temos
Aplicamos logaritmo de base
Usando
, vem
Basta isolar
Ou seja,
Resposta
As fórmulas de mudança de base são: