Deduza as fórmulas de mudança de base da exponencial e do logarítmo:
log b x=log a xlog a b

Passo 1

O enunciado pede para deduzir duas fórmulas de mudança de base: uma para a função exponencial e outra para o logaritmo. Vamos usar propriedades de logaritmos e exponenciais e o fato de que podemos aplicar logaritmo em qualquer base a ambos os lados de uma igualdade.

Passo 2

Começamos pela exponencial. Seja y=b^x. Aplicando logaritmo de base a em ambos os lados, temos:
loga y=logal(b^xr)
Pela propriedade loga(b^x)=xloga b, obtemos:
loga y=x,loga b
Agora isolamos y. Como y está dentro do logaritmo, reescrevemos em forma exponencial de base a:
y=a^loga y=a^x,loga b
Portanto, a fórmula de mudança de base para a exponencial é
b^x=a^x,loga b

Passo 3

Agora deduzimos a fórmula de mudança de base para o logaritmo. Seja y=logb x. Pela definição de logaritmo, temos
b^y=x
Aplicamos logaritmo de base a em ambos os lados:
loga(b^y)=loga x
Usando loga(b^y)=yloga b, vem
y,loga b=loga x
Basta isolar y:
y=loga xloga b
Ou seja,
logb x=loga xloga b

Resposta

As fórmulas de mudança de base são:
b^x = a^x,loga b,
logb x = loga xloga b

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