(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme t aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
x=3 t^2, y=2+5 t, 0 <= t <= 2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas equações paramétricas:
x = 3 t^2, y = 2 + 5 t, 0 <= t <= 2
Essas equações descrevem uma curva no plano cartesianas. O que precisamos fazer aqui são duas coisas:
(a) Esboçar a curva traçando pontos para diferentes valores de $ t $ e indicar a direção da curva conforme $ t $ aumenta.
(b) Eliminar o parâmetro $ t $ para encontrar a equação da curva na forma $ y $ em função de $ x $ (ou vice-versa), ou seja, a equação cartesiana.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Para esboçar a curva, vamos escolher alguns valores de $ t $ dentro do intervalo de $ 0 $ a $ 2 $, calcular os correspondentes valores de $ x $ e $ y $, e plotar esses pontos no gráfico.

Passo 3

Escolhendo alguns valores de $ t $:
  • Quando $ t = 0 $:
    t
    Ponto: $ (0, 2) $
  • Quando $ t = 1 $:
    t = 0
    Ponto: $ (3, 7) $
  • Quando $ t = 2 $:
    x = 3 (0)^2 = 0, y = 2 + 5(0) = 2
    Ponto: $ (12, 12) $
Podemos escolher mais alguns valores se quisermos um esboço mais detalhado, mas com esses três já dá para ter uma ideia da forma da curva.

Passo 4

Agora, vamos plotar esses pontos no gráfico:
  • $ (0, 2) $
  • $ (3, 7) $
  • $ (12, 12) $
Conectando esses pontos, percebemos que a curva começa no ponto $ (0, 2) $, passa por $ (3, 7) $ e vai até $ (12, 12) $.

Passo 5

Para indicar a direção da curva conforme $ t $ aumenta, precisamos observar como os pontos se movem à medida que $ t $ cresce de $ 0 $ para $ 2 $:
  • De $ t = 0 $ para $ t = 1 $, $ x $ aumenta de $ 0 $ para $ 3 $ e $ y $ aumenta de $ 2 $ para $ 7 $.
  • De $ t = 1 $ para $ t = 2 $, $ x $ aumenta de $ 3 $ para $ 12 $ e $ y $ aumenta de $ 7 $ para $ 12 $.
Então, colocamos uma seta no esboço da curva, indicando que a direção vai do ponto $ (0, 2) $ para $ (12, 12) $.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos eliminar o parâmetro $ t $ para encontrar a equação cartesiana da curva.
Primeiro, vamos resolver uma das equações para $ t $ e depois substituir na outra. Vamos resolver a equação de $ y $ para $ t $:
t

Passo 7

Agora que temos $ t $ em termos de $ y $, vamos substituir esse valor na equação de $ x $:
t

Passo 8

Essa é a equação cartesiana da curva. Se preferir, podemos rearranjar para resolver $ y $ em função de $ x $:
y
Isso nos dá a relação direta entre $ y $ e $ x $, eliminando o parâmetro $ t $.

Resposta

(a) Ao traçar os pontos para $ t = 0, 1, 2 $, a curva se estende de $ (0, 2) $ a $ (12, 12) $ com uma seta indicando a direção crescente de $ t $.
(b) A equação cartesiana da curva é:
t = 0, 1, 2

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