Deduza fórmulas em termos de sen theta e cos theta de: cos 3 theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente deduzir uma fórmula para cos 3theta usando sin theta e cos theta. Isso está ligado às fórmulas de múltiplos de ângulos em trigonometria. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de adição de ângulos e identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula para cos(a + b), que é uma das fórmulas de adição:
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
Aqui, vamos aplicar essa fórmula para escrever cos 3theta como cos(2theta + theta).

Passo 3

Aplicando a fórmula de adição para cos(2theta + theta), temos:
cos(3theta) = cos(2theta + theta) = cos 2theta cos theta - sin 2theta sin theta
Agora, precisamos expressar cos 2theta e sin 2theta em termos de sin theta e cos theta.

Passo 4

Vamos usar as identidades de ângulos duplos:
cos 2theta = cos^2 theta - sin^2 theta
sin 2theta = 2 sin theta cos theta
Substituindo essas na expressão que encontramos para cos 3theta:
cos(3theta) = (cos^2 theta - sin^2 theta) cos theta - (2 sin theta cos theta) sin theta

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
cos(3theta) = cos^3 theta - sin^2 theta cos theta - 2 sin^2 theta cos theta
Juntando os termos semelhantes:
cos(3theta) = cos^3 theta - 3 sin^2 theta cos theta

Passo 6

Para deixar tudo em termos de cos theta, lembramos que sin^2 theta = 1 - cos^2 theta. Substituindo isso na expressão:
cos(3theta) = cos^3 theta - 3 (1 - cos^2 theta) cos theta
Simplificando:
cos(3theta) = cos^3 theta - 3 cos theta + 3 cos^3 theta
cos(3theta) = 4 cos^3 theta - 3 cos theta

Resposta

A fórmula deduzida para cos 3theta em termos de cos theta é:
cos(3theta) = 4 cos^3 theta - 3 cos theta

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