(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y=x^3+1 no ponto (1,2)
(i) usando a Definição 1. (ii) usando a Equação 2.
(b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a).
© Faça um gráfico da curva e da reta tangente em janelas retangulares cada vez menores centrados no ponto (1,2) até que a curva e a tangente pareçam indistinguíveis.

Passo 1

Neste exercício temos a curva y = x³ + 1 e o ponto (1,2). O conteúdo é derivada de uma função polinomial, e vamos usar tanto a definição de derivada (Definição 1) quanto a regra de derivação para potências (Equação 2) para achar a inclinação da reta tangente. Em seguida, vamos montar a equação da reta tangente e fazer uma ideia de como plotar o gráfico em janelas cada vez menores.

Passo 2

Para (a)(i), aplicamos a Definição 1 da derivada: a inclinação m em x = 1 é o limite
m = limh to 0 f(1+h) - f(1)h
Aqui f(x) = x³ + 1, logo f(1+h) = (1+h)³ + 1 = 1 + 3h + 3h² + h³ + 1 e f(1) = 2. Então

Passo 3

m = limh to 0 (1 + 3h + 3h² + h³ + 1) - 2h = limh to 0 3h + 3h² + h³h = limh to 0 (3 + 3h + h²) = 3 ²³²³²

Passo 4

Para (a)(ii), usamos a Equação 2: a derivada de x³ + 1 é f’(x) = 3x². Avaliando em x = 1 temos
f'(1) = 3 cdot 1² = 3 ²

Passo 5

Para (b), a equação da reta tangente ao ponto (1,2) com inclinação m = 3 é dada por
y - y0 = m (x - x0)
Substituindo (x₀,y₀) = (1,2) e m = 3:

Passo 6

y - 2 = 3(x - 1) Longrightarrow y = 3x - 3 + 2 = 3x - 1

Passo 7

Para ©, fazemos o gráfico de y = x³ + 1 e y = 3x - 1 em janelas centradas em (1,2). Por exemplo:
  1. x ∈ [0,2], y ∈ [1,3]
  2. x ∈ [0.5,1.5], y ∈ [1.5,2.5]
  3. x ∈ [0.9,1.1], y ∈ [1.9,2.1]
    Em cada janela progressivamente menor, a curva e a reta tangente vão parecer cada vez mais coincidentes.

Passo 8

Resposta

Inclinação da reta tangente em (1,2): m = 3 – Equação da reta tangente: y = 3x – 1 – Gráficos nas janelas exemplares x∈[0,2]×y∈[1,3], depois x∈[0.5,1.5]×y∈[1.5,2.5] e por fim x∈[0.9,1.1]×y∈[1.9,2.1], em que curva e reta tornam-se indistinguíveis.

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