Problema - Nos problemas (16) a (19), demonstre as relações.
17) Use a série de Fourier para f(x) abaixo para provar a identidade indicada. Dica: f está entre os exemplos dos capítulos.
& f(x)=cr -x, & -2

Passo 1

O problema pede para usar a série de Fourier da função
f(x)= -x,&-2
para provar a identidade
pi^28=sumk=0^infty1(2k+1)^2
O conteúdo que vamos precisar é a série de Fourier de uma função par no intervalo [-2,2], que gera só termos de cosseno, e então avaliar em x=0 para extrair a soma desejada.

Passo 2

Como f(x)=|x| é par, sua série de Fourier em [-2,2] só tem termos de cosseno. Escrevemos
f(x)=a02+sumn=1^inftyancosl(tfracnpi x2r)
com
a0=12integral-2^2f(x),dx, an=12integral-2^2f(x)cosl(tfracnpi x2r),dx

Passo 3

Calculamos primeiro a_0 e depois a_n. Devido à paridade,
a0=12integral-2^2|x|,dx=12cdot2integral0^2x,dx=12cdot2cdot2^22=2,
logo a_0/2=1. Para n≥1,
an=integral0^2xcosl(tfracnpi x2r)dx
Integramos por partes (u=x, dv=cos(nπx/2)dx) e obtemos
integral0^2xcosl(tfracnpi x2r)dx =4l((-1)^n-1r)n^2pi^2

Passo 4

Note que para n=2k temos (-1)^n=1, então a_{2k}=0; para n=2k+1,
a2k+1=4((-1)^2k+1-1)(2k+1)^2pi^2 =4(-2)(2k+1)^2pi^2 =-8(2k+1)^2pi^2
Assim a série fica
f(x)=1-sumk=0^infty8(2k+1)^2pi^2cosl(tfrac(2k+1)pi x2r)

Passo 5

Finalmente, avaliamos em x=0: f(0)=|0|=0, e da série obtemos
0=1-sumk=0^infty8(2k+1)^2pi^2cdot1 =1-8pi^2sumk=0^infty1(2k+1)^2
Rearranjando vem
sumk=0^infty1(2k+1)^2=pi^28

Resposta

pi^28=sumk=0^infty1(2k+1)^2.

Exercícios relacionados