Problema - Nos problemas (16) a (19), demonstre as relações.
17) Use a série de Fourier para
abaixo para provar a identidade indicada. Dica:
está entre os exemplos dos capítulos.
17) Use a série de Fourier para
Passo 1
O problema pede para usar a série de Fourier da função
f(x)=
para provar a identidade
f(x)=
para provar a identidade
O conteúdo que vamos precisar é a série de Fourier de uma função par no intervalo [-2,2], que gera só termos de cosseno, e então avaliar em x=0 para extrair a soma desejada.
Passo 2
Como f(x)=|x| é par, sua série de Fourier em [-2,2] só tem termos de cosseno. Escrevemos
com
Passo 3
Calculamos primeiro a_0 e depois a_n. Devido à paridade,
logo a_0/2=1. Para n≥1,
Integramos por partes (u=x, dv=cos(nπx/2)dx) e obtemos
Passo 4
Note que para n=2k temos (-1)^n=1, então a_{2k}=0; para n=2k+1,
Assim a série fica
Passo 5
Finalmente, avaliamos em x=0: f(0)=|0|=0, e da série obtemos
Rearranjando vem