Problema - Vamos estudar o uso de séries de Fourier em Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) em Problemas de Valor Iniciais (PVIs). Nos execícios de (4) a (6), considere o seguinte PVI:
- Comecemos com
, com
também
e
. (a) Monte o problema; (b) Como é um equação diferencial linear com coeficientes constantes não homogênea, use o método da Seção 3.5,
e encontre a solução geral; © determine os coeficientes da solução do PVI. (d) O que acontece se
?
Passo 1
A gente tem o PVI
que é um oscilador harmônico forçado. Vamos usar a divisão em solução homogênea mais particular.
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
cuja solução geral é
Isso vem da equação característica
.
Passo 3
Para a solução particular suponha (quando
)
Substituindo em
obtemos
Igualando coeficientes dá
o que leva a
e
.
Passo 4
Somando as partes e impondo as condições iniciais:
resulta em
Passo 5
Quando
(ressonância) o denominador some e o palpite precisa mudar para
, levando a
e a solução cresce sem limite (resposta que reflete a ressonância).
Resposta
Para
a solução do PVI é
Se
há ressonância e a solução particular é
fazendo
crescer linearmente em
.