Problema - Vamos estudar o uso de séries de Fourier em Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) em Problemas de Valor Iniciais (PVIs). Nos execícios de (4) a (6), considere o seguinte PVI:
& y^prime prime(t)+omega^2 y(t)=f(t) & l y(0)=c1, y^prime(0)=c2
  1. Comecemos com f(t)=sin n t, n in N, com omega^2 neq n^2 também c1=0 e c2=0. (a) Monte o problema; (b) Como é um equação diferencial linear com coeficientes constantes não homogênea, use o método da Seção 3.5, y(t)=yh(t)+yp(t) e encontre a solução geral; © determine os coeficientes da solução do PVI. (d) O que acontece se omega neq n ?

Passo 1

A gente tem o PVI
y''(t)+omega^2y(t)=sin(nt), y(0)=0,;y'(0)=0
que é um oscilador harmônico forçado. Vamos usar a divisão em solução homogênea mais particular.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
yh''+omega^2yh=0
cuja solução geral é
yh(t)=Acos(omega t)+Bsin(omega t)
Isso vem da equação característica r^2+omega^2=0.

Passo 3

Para a solução particular suponha (quando omeganeq n)
yp(t)=alphasin(nt)+betacos(nt)
Substituindo em y''+omega^2y=sin(nt) obtemos
(-n^2+omega^2)(alphasin(nt)+betacos(nt))=sin(nt)
Igualando coeficientes dá
(-n^2+omega^2)alpha=1, (-n^2+omega^2)beta=0
o que leva a beta=0 e alpha=1/(omega^2-n^2).

Passo 4

Somando as partes e impondo as condições iniciais:
y(t)=Acos(omega t)+Bsin(omega t)+sin(nt)omega^2-n^2,
y(0)=A=0,
y'(t)=-Aomegasin(omega t)+Bomegacos(omega t)+ncos(nt)omega^2-n^2,
y'(0)=Bomega+nomega^2-n^2=0
resulta em
B=-nomega(omega^2-n^2)

Passo 5

Quando omega=n (ressonância) o denominador some e o palpite precisa mudar para yp=Ctcos(nt), levando a
yp(t)=-t2ncos(nt)
e a solução cresce sem limite (resposta que reflete a ressonância).

Resposta

Para omega^2neq n^2 a solução do PVI é
y(t)=-nomega(omega^2-n^2)sin(omega t)+1omega^2-n^2sin(nt)
Se omega=n há ressonância e a solução particular é
yp(t)=-t2ncos(nt),
fazendo y(t) crescer linearmente em t.

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