Encontrando a série de Taylor

Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em x=0 das funções nos Exercícios 1-10.
  1. e^-5 x
  2. cos 5 x^2
  3. e^-x / 2
  4. cos (x^2 / 3 / raiz2)
  5. 5 sen(-x)
  6. ln (1+x^2)
  7. sen(pi x2)
  8. tg^-1(3 x^4)
  9. 12-x
  10. 5-2 x

Passo 1

Resumo: Precisamos achar a série de Taylor (Maclaurin) em x=0 das 10 funções dadas, usando substituição. O conteúdo é expansão em série de potências (séries de Maclaurin) e vamos precisar conhecer as séries básicas de e^u, cos u, sin u, ln(1+u), arctan u e da série geométrica.

Passo 2

Vamos usar as expansões conhecidas (para |u|<1 ou válidas como séries formais):
e^u=sumn=0^inftyu^nn!
$$\cos u=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{u^{2n}}{(2n)!}
$$
$$\sin u=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{u^{2n+1}}{(2n+1)!}
$$
$$\ln(1+u)=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}\frac{u^n}{n}
$$
$$\arctan u=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{u^{2n+1}}{2n+1}
$$
$$\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}{\infty}un
$$

Passo 3

Exponenciais (itens 1 e 3): substituímos u=-5x e u=-x/2 em e^u:
e^-5x=sumn=0^infty(-5x)^nn!,
e^-x/2=sumn=0^infty(-x/2)^nn!

Passo 4

Cossenos (itens 2 e 4): usamos u=5x^2 e u=tfracx^2/3raiz2 em cos u:
$$\cos(5x2)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(5x2){2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{5{2n}x^{4n}}{(2n)!},
$$
$$\cos\bigl(\tfrac{x{2/3}}{\sqrt2}\bigr)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(x{2/3}/\sqrt2){2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{x{4n/3}}{2^n(2n)!}.
$$

Passo 5

Senos (itens 5 e 7): em sin u com u=-x e u=tfracpi x2:
$$5\sin(-x)=5\bigl(-\sin x\bigr)=-5\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{x{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}{\infty}(-1){n+1}\frac{5,x{2n+1}}{(2n+1)!},
$$
$$\sin\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(\pi x/2)^{2n+1}}{(2n+1)!},
$$

Passo 6

Logaritmo (item 6): com u=x^2 em ln(1+u):
$$\ln(1+x2)=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}\frac{x{2n}}{n},
$$

Passo 7

Arctangente (item 8): com u=3x^4 em arctan u:
$$\arctan(3x4)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(3x4){2n+1}}{2n+1}=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{3{2n+1}x^{8n+4}}{2n+1},
$$

Passo 8

Racional (item 9): escrevemos
$$\frac{1}{2-x}=\frac12\cdot\frac{1}{1-(x/2)}=\frac12\sum_{n=0}{\infty}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)n=\sum_{n=0}{\infty}\frac{xn}{2^{n+1}},
$$

Passo 9

Polinomial (item 10): já é série de Taylor de ordem 1:
5-2x

Resposta

  1. (e{-5x}=\sum_{n=0}{\infty}\frac{(-5)n}{n!},xn.\
  2. (\cos(5x2)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{5{2n}}{(2n)!},x^{4n}.\
  3. (e{-x/2}=\sum_{n=0}{\infty}\frac{(-1)n}{2n,n!},x^n.\
  4. (\cos\bigl(x{2/3}/\sqrt2\bigr)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{1}{2n(2n)!},x^{4n/3}.\
  5. (5\sin(-x)=\sum_{n=0}{\infty}(-1){n+1}\frac{5}{(2n+1)!},x^{2n+1}.\
  6. (\ln(1+x2)=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}\frac{1}{n},x{2n}.\
  7. (\sin\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(\pi/2){2n+1}}{(2n+1)!},x{2n+1}.\
  8. (\arctan(3x4)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{3{2n+1}}{2n+1},x^{8n+4}.\
  9. (\frac{1}{2-x}=\sum_{n=0}{\infty}\frac{1}{2{n+1}},x^n.\
  10. 5-2x

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