Encontrando a série de Taylor
Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em
das funções nos Exercícios 1-10.
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Passo 1
Resumo: Precisamos achar a série de Taylor (Maclaurin) em
das 10 funções dadas, usando substituição. O conteúdo é expansão em série de potências (séries de Maclaurin) e vamos precisar conhecer as séries básicas de
,
,
,
,
e da série geométrica.
Passo 2
Vamos usar as expansões conhecidas (para
ou válidas como séries formais):
$$\cos u=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{u^{2n}}{(2n)!}
$$
$$\sin u=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{u^{2n+1}}{(2n+1)!}
$$
$$\ln(1+u)=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}\frac{u^n}{n}
$$
$$\arctan u=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{u^{2n+1}}{2n+1}
$$
$$\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}{\infty}un
$$
Passo 3
Exponenciais (itens 1 e 3): substituímos
e
em
:
Passo 4
Cossenos (itens 2 e 4): usamos
e
em
:
$$\cos(5x2)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(5x2){2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{5{2n}x^{4n}}{(2n)!},
$$
$$\cos\bigl(\tfrac{x{2/3}}{\sqrt2}\bigr)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(x{2/3}/\sqrt2){2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{x{4n/3}}{2^n(2n)!}.
$$
Passo 5
Senos (itens 5 e 7): em
com
e
:
$$5\sin(-x)=5\bigl(-\sin x\bigr)=-5\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{x{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}{\infty}(-1){n+1}\frac{5,x{2n+1}}{(2n+1)!},
$$
$$\sin\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(\pi x/2)^{2n+1}}{(2n+1)!},
$$
Passo 6
Logaritmo (item 6): com
em
:
$$\ln(1+x2)=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}\frac{x{2n}}{n},
$$
Passo 7
Arctangente (item 8): com
em
:
$$\arctan(3x4)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(3x4){2n+1}}{2n+1}=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{3{2n+1}x^{8n+4}}{2n+1},
$$
Passo 8
Racional (item 9): escrevemos
$$\frac{1}{2-x}=\frac12\cdot\frac{1}{1-(x/2)}=\frac12\sum_{n=0}{\infty}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)n=\sum_{n=0}{\infty}\frac{xn}{2^{n+1}},
$$
Passo 9
Polinomial (item 10): já é série de Taylor de ordem 1:
Resposta
- (e{-5x}=\sum_{n=0}{\infty}\frac{(-5)n}{n!},xn.\
- (\cos(5x2)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{5{2n}}{(2n)!},x^{4n}.\
- (e{-x/2}=\sum_{n=0}{\infty}\frac{(-1)n}{2n,n!},x^n.\
- (\cos\bigl(x{2/3}/\sqrt2\bigr)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{1}{2n(2n)!},x^{4n/3}.\
- (5\sin(-x)=\sum_{n=0}{\infty}(-1){n+1}\frac{5}{(2n+1)!},x^{2n+1}.\
- (\ln(1+x2)=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}\frac{1}{n},x{2n}.\
- (\sin\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{(\pi/2){2n+1}}{(2n+1)!},x{2n+1}.\
- (\arctan(3x4)=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\frac{3{2n+1}}{2n+1},x^{8n+4}.\
- (\frac{1}{2-x}=\sum_{n=0}{\infty}\frac{1}{2{n+1}},x^n.\
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