Deduza fórmulas em termos de sen theta e cos theta de: sen 3 theta

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para deduzir uma fórmula para sen 3theta em termos de sen theta e cos theta. Estamos trabalhando com identidades trigonométricas, especificamente com as fórmulas de adição de ângulos. Para isso, vamos precisar utilizar a fórmula do seno da soma de dois ângulos.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que 3theta pode ser escrito como a soma de theta e 2theta. Assim, podemos aplicar a fórmula de adição do seno:
sen(A + B) = sen A cos B + cos A sen B
Aqui, A = theta e B = 2theta.

Passo 3

Aplicando a fórmula com A = theta e B = 2theta, temos:
sen(3theta) = sen(theta + 2theta) = sen theta cos 2theta + cos theta sen 2theta

Passo 4

Agora, precisamos expressar cos 2theta e sen 2theta em termos de cos theta e sen theta. Para isso, usamos as identidades duplo ângulo:
cos 2theta = 1 - 2sen^2 theta
sen 2theta = 2 sen theta cos theta

Passo 5

Substituímos essas expressões na equação que obtivemos:
sen 3theta = sen theta (1 - 2sen^2 theta) + cos theta (2 sen theta cos theta)

Passo 6

Vamos distribuir e simplificar os termos:
sen 3theta = sen theta - 2sen^3 theta + 2 sen theta cos^2 theta

Passo 7

Observamos que cos^2 theta pode ser substituído por 1 - sen^2 theta. Assim:
sen 3theta = sen theta - 2sen^3 theta + 2 sen theta (1 - sen^2 theta)

Passo 8

Distribuímos o 2 sen theta:
sen 3theta = sen theta - 2sen^3 theta + 2sen theta - 2sen^3 theta

Passo 9

Finalmente, agrupamos os termos semelhantes:
sen 3theta = 3sen theta - 4sen^3 theta

Resposta

Portanto, a fórmula deduzida é:
sen 3theta = 3, sentheta - 4, sen^3theta

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